🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Bileşke Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi

Birden fazla fonksiyonun ardışık olarak uygulandığı durumlarda bir fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanın diğer fonksiyonun tanım kümesinde kullanılmasıyla elde edilen işleme bileşke işlemi denir.

$f: A \to B$ ve $g: B \to C$ şeklinde tanımlı iki fonksiyon verildiğinde, $A$ kümesinin elemanlarını $f$ ve $g$ kurallarını art arda uygulayarak doğrudan $C$ kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona $g$ bileşke $f$ fonksiyonu denir.

• Sembolik Gösterim:

  $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \text{(“g bileşke f” şeklinde okunur)}$$

• Sıralama Kuralı: Bileşke işleminde sağdaki fonksiyon bağımsız değişkene önce uygulanır, çıkan sonuç soldaki fonksiyonda yerine yazılır:

  $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
  $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

2. Tanımlı Olma Şartı

$g \circ f$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi ($f(A)$), $g$ fonksiyonunun tanım kümesinin ($B$) bir alt kümesi olmak zorundadır ($f(A) \subseteq B$).

$g \circ f$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi:

3. Bileşke İşleminin Cebirsel Özellikleri

• Değişme Özelliği Yoktur: Genel olarak fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur:

  $$(f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x)$$

• Birleşme Özelliği Vardır: Üç fonksiyonun bileşkesinde işlem önceliği sonucu değiştirmez:

  $$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$$

• Birim Fonksiyon ve Ters Fonksiyon İlişkisi:

  • $I(x) = x$ birim fonksiyon olmak üzere: $f \circ I = I \circ f = f$

  • Bire bir ve örten bir $f$ fonksiyonu ile tersi $f^{-1}$ bileşkeye girdiğinde birim fonksiyonu verir:

    $$(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$$

  • Bileşkenin tersi alınırken fonksiyonların sırası yer değiştirir:

    $$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$$

4. Bileşke Fonksiyonların Nitel Özellikleri

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının nitelikleri $g \circ f$ bileşke fonksiyonunun karakterini belirler:

• Bire Birlik: $f$ ve $g$ bire bir ise $g \circ f$ de kesinlikle bire birdir.

• Örtenlik: $f$ ve $g$ örten ise $g \circ f$ de kesinlikle örtendir.

• Artanlık / Azalanlık:

  • İkisi de artan $\implies g \circ f$ artan

  • Biri artan, diğeri azalan $\implies g \circ f$ azalan

  • İkisi de azalan $\implies g \circ f$ artan

• Teklik / Çiftlik:

  • $f$ çift fonksiyon ise $g \circ f$ daima çift fonksiyondur.

  • $f$ ve $g$ ikisi de tek fonksiyon ise $g \circ f$ tek fonksiyondur.

II. BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, $(f \circ g)(2)$ işleminin sonucu kaçtır?

A) 17

B) 20

C) 23

D) 25

E) 27

Çözüm 1

Bileşke fonksiyon kuralı $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ şeklindedir.

Önce içteki $g(2)$ değeri hesaplanır:

Bulunan 8 değeri $f$ fonksiyonunda yerine yazılır:

Doğru Seçenek: C

Soru 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

olduğuna göre, $g(x)$ fonksiyonunun cebirsel kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $3x – 3$

B) $3x – 2$

C) $3x + 2$

D) $2x – 3$

E) $4x – 6$

Çözüm 2

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ eşitliği yazılır:

Bu ifade verilen $6x – 1$ kuralına eşitlenir:

Doğru Seçenek: A

Soru 3

Gerçek sayılarda tanımlı bire bir ve örten $f$ ve $g$ fonksiyonları için

olduğuna göre, $(g^{-1} \circ f^{-1})(5)$ değeri kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm 3

Fonksiyonların ters özelliklerinden:

Bileşke işlemi adım adım uygulanır:

Doğru Seçenek: B

Soru 4

Gerçek sayılarda tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları ile ilgili:

I. $f$ ve $g$ artan fonksiyonlar ise $(f \circ g)$ fonksiyonu da artandır.

II. $f$ çift fonksiyon ise $(g \circ f)$ fonksiyonu da çift fonksiyondur.

III. Her $f$ ve $g$ fonksiyonu için $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ eşitliği daima sağlanır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I

B) I ve II

C) I ve III

D) II ve III

E) I, II ve III

Çözüm 4

• I. öncül: İki artan fonksiyonun bileşkesi daima artandır, kesinlikle doğrudur.

• II. öncül: $f$ çift ise $f(-x) = f(x)$ tir. Buradan $(g \circ f)(-x) = g(f(-x)) = g(f(x)) = (g \circ f)(x)$ olur, dolayısıyla $g \circ f$ çift fonksiyondur, kesinlikle doğrudur.

• III. öncül: Bileşke işleminin değişme özelliği genel olarak yoktur ($(f \circ g) \ne (g \circ f)$), yanlıştır.

Doğru öncüller I ve II’dir.

Doğru Seçenek: B

Soru 5

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, $\underbrace{(f \circ f \circ \dots \circ f)}_{21 \text{ tane}}(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm 5

$(f \circ f)(x)$ bileşkesi hesaplanır:

$f \circ f = I$ (birim fonksiyon) olduğundan iki adet $f$ yan yana geldiğinde birbirini birim fonksiyona dönüştürür.

21 adet $f$ fonksiyonundan 20 tanesi (10 çift) birim fonksiyona dönüşüp etkisiz kalır:

$f(3)$ hesaplanır:

Doğru Seçenek: B