7. SINIF MATEMATİK: ÜÇGENDE KENARORTAY VE İNŞASI

1. Kenarortay Kavramı ve Temel Özellikleri

Bir üçgenin herhangi bir köşesini, bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

• Sembolü: Kenarortay genellikle $V$ harfi ile gösterilir. $a$ kenarına ait kenarortay $V_a$, $b$ kenarına ait kenarortay $V_b$, $c$ kenarına ait kenarortay ise $V_c$ biçiminde ifade edilir.

• Görevi: Çizildiği kenarı uzunlukça iki eş parçaya böler. Örneğin bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen kenarortay kenarı $D$ noktasında kesiyorsa:

  $$\vert{}BD\vert{} = \vert{}DC\vert{} = \frac{\vert{}BC\vert{}}{2}$$

• Alan İlişkisi: Bir üçgende çizilen kenarortay, üçgenin alanını birbirine eşit iki eş alana böler ($A(ABD) = A(ADC)$).

2. Ağırlık Merkezi ($G$) ve 1’e 2 Oranı

Bir üçgenin üç kenarına ait kenarortaylar daima üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada kesişir. Bu özel kesişim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir ve geleneksel olarak $G$ harfi ile gösterilir.

1’e 2 Oranı (Ağırlık Merkezi Kuralı):

Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı kenara ve köşeye olan uzaklıkları bakımından $1:2$ oranında böler:

• Kenara olan uzaklık $1\text{ birim}$ ($k$) ise,

• Köşeye olan uzaklık $2\text{ birim}$ ($2k$) olur.

Örneğin $[AD]$ kenarortayı üzerinde:

3. Pergel ve Cetvel ile Kenarortay İnşası Adımları

Bir kenarortay çizebilmek için öncelikle ilgili kenarın tam orta noktasının geometrik olarak belirlenmesi gerekir. Bu orta nokta, daha önce öğrenilen orta dikme inşası yöntemiyle pergel ve cetvel kullanılarak bulunur:

1. Kenarın Orta Noktasını Belirleme:

   • $[BC]$ kenarına ait orta noktayı bulmak için pergelin sivri ucu $B$ köşesine batırılır.

   • Pergel açıklığı $[BC]$ kenarının uzunluğunun yarısından biraz fazla açılır ve kenarın hem üstünde hem de altında birer yay çizilir.

   • Pergelin açıklığı hiç bozulmadan sivri uç $C$ köşesine batırılır ve önceki yayları kesecek biçimde iki yeni yay çizilir.

   • Yayların kesiştiği noktalar cetvel yardımıyla hafifçe (kesikli çizgiyle) birleştirilir. Bu birleşim çizgisinin $[BC]$ kenarını kestiği yer, kenarın tam orta noktası ($D$) olur.

2. Köşe ile Orta Noktayı Birleştirme:

   • Cetvelin bir ucu karşıdaki tepe noktası olan $A$ köşesine, diğer ucu ise yeni bulunan $D$ orta noktasına yerleştirilir.

   • $[AD]$ doğru parçası çizilir. Çizilen bu doğru parçası, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına ait kenarortayıdır.

4. Özel Durum: Dik Üçgende Muhteşem Üçlü

Bir dik üçgende dik açının ($90^\circ$) bulunduğu köşeden hipotenüse (en uzun kenara) indirilen kenarortay, ayırdığı hipotenüs parçalarının uzunluğuna eşittir. Bu özelliğe muhteşem üçlü denir:

5. Çözümlü Sorular (5 Adet)

Soru 1: Ağırlık Merkezi ve Doğrusal Parça Hesabı

Bir $KLM$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. $K$ köşesinden çizilen kenarortay $[LM]$ kenarını $N$ noktasında kesmektedir.

• $\vert{}GN\vert{} = (2x + 1)\text{ cm}$

• $\vert{}KG\vert{} = (5x – 4)\text{ cm}$

olduğuna göre, $\vert{}KN\vert{}$ kenarortayının toplam uzunluğu kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Ağırlık merkezi kuralına göre köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır:

   $$\vert{}KG\vert{} = 2 \cdot \vert{}GN\vert{}$$

2. Değerleri denklemde yerine koyalım:

   $$5x – 4 = 2 \cdot (2x + 1)$$
   $$5x – 4 = 4x + 2$$
   $$5x – 4x = 2 + 4 \implies x = 6$$

3. Parça uzunluklarını bulalım:

   • $\vert{}GN\vert{} = 2(6) + 1 = 13\text{ cm}$

   • $\vert{}KG\vert{} = 5(6) – 4 = 26\text{ cm}$

4. Toplam kenarortay uzunluğu:

   $$\vert{}KN\vert{} = 26 + 13 = 39\text{ cm}$$

Soru 2: Alan Paylaşımı

Alanı $72\text{ cm}^2$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ kenarortayı çizilmiştir. Daha sonra oluşan $ABD$ üçgeninde $B$ köşesinden $[AD]$ kenarına ait $[BE]$ kenarortayı çizilmiştir.

Buna göre $ABE$ üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözümü:

1. $[AD]$ kenarortayı $ABC$ üçgeninin alanını iki eş parçaya böler:

   $$A(ABD) = A(ADC) = \frac{72}{2} = 36\text{ cm}^2$$

2. $[BE]$ doğru parçası $ABD$ üçgeninin kenarortayı olduğundan $ABD$ üçgeninin alanını da iki eş parçaya böler:

   $$A(ABE) = A(EBD) = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}^2$$

Soru 3: Muhteşem Üçlü ve Ağırlık Merkezi Birlikteliği

$B$ açısı $90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu $\vert{}AC\vert{} = 36\text{ cm}$‘dir. $G$ noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir ve $B$ köşesinden hipotenüse indirilen kenarortay $[BD]$‘dir.

Buna göre $\vert{}BG\vert{}$ uzunluğu kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Dik açılı üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (muhteşem üçlü):

   $$\vert{}BD\vert{} = \frac{\vert{}AC\vert{}}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}$$

2. $G$ noktası ağırlık merkezi olduğu için $[BD]$ kenarortayı $1:2$ oranında parçalanır ($\vert{}BG\vert{} = 2k$, $\vert{}GD\vert{} = k$):

   $$\vert{}BD\vert{} = 3k \implies 3k = 18 \implies k = 6\text{ cm}$$

3. $B$ köşesine olan uzaklık $\vert{}BG\vert{}$ istendiğinden:

   $$\vert{}BG\vert{} = 2k = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}$$

Soru 4: Kenarortay İnşasında Hata Analizi

Bir öğrenci defterine çizdiği $14\text{ cm}$ taban uzunluğuna sahip bir üçgenin kenarortayını pergel-cetvel yardımıyla inşa etmek istemektedir. Öğrenci pergel açıklığını cetvelle $6\text{ cm}$ olarak ayarlamış ve tabanın iki köşesinden yaylar çizmiştir.

Öğrencinin bu adımla kenarın orta noktasını neden belirleyemediğini açıklayınız ve inşanın başarılı olabilmesi için pergel açıklığının en az kaç santimetreden büyük seçilmesi gerektiğini belirtiniz.

Çözümü:

1. Kenarortay inşasında ilk adım kenarın orta noktasını orta dikme mantığıyla bulmaktır. Çizilen yayların birbirini kesebilmesi için pergel açıklığının kenar uzunluğunun yarısından ($14 \div 2 = 7\text{ cm}$) kesinlikle büyük olması gerekir.

2. Öğrenci pergelini $6\text{ cm}$ açtığında, iki köşeden çizilen yaylar birbirine ulaşamaz (aralarında $14 – (6 + 6) = 2\text{ cm}$ boşluk kalır) ve kesişme noktası oluşmaz.

3. İnşanın gerçekleşmesi için pergel açıklığı kesinlikle $7\text{ cm}$‘den büyük (örneğin $8-9\text{ cm}$) ayarlanmalıdır.

Soru 5: İkizkenar Üçgende Kenarortay ve Pisagor Bağıntısı

$\vert{}AB\vert{} = \vert{}AC\vert{} = 15\text{ cm}$ ve $\vert{}BC\vert{} = 18\text{ cm}$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına $[AD]$ kenarortayı çizilmiştir.

Buna göre $\vert{}AD\vert{}$ kenarortayının uzunluğu kaç santimetredir?

Çözümü:

1. İkizkenar üçgende tabana indirilen kenarortay aynı zamanda yüksekliktir ($[AD] \perp [BC]$).

2. Kenarortay tabanı iki eş parçaya böler:

   $$\vert{}BD\vert{} = \vert{}DC\vert{} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm}$$

3. Oluşan $ABD$ dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanır:

   $$\vert{}AD\vert{}^2 + \vert{}BD\vert{}^2 = \vert{}AB\vert{}^2$$
   $$\vert{}AD\vert{}^2 + 9^2 = 15^2$$
   $$\vert{}AD\vert{}^2 + 81 = 225$$
   $$\vert{}AD\vert{}^2 = 225 – 81 = 144 \implies \vert{}AD\vert{} = 12\text{ cm}$$