1. Birim Küpten Hacim Bağıntısına Geçiş

Ayrıt uzunlukları $1\text{ birim}$ olan küplere birim küp denir. Üç boyutlu bir cismin uzayda kapladığı yeri belirlemenin temel mantığı, o cismin içerisine boşluk kalmayacak şekilde kaç adet birim küp yerleştirilebildiğini hesaplamaktır.

Birim küpleri tek tek saymak pratik olmadığından, prizmanın temel boyutları (en, boy ve yükseklik) kullanılarak sistematik bir bağıntı elde edilir:

1. Taban Katmanının Oluşturulması: Prizmanın tabanına yan yana ve alt alta yerleştirilen küpler ilk katmanı oluşturur. Bu kattaki birim küp adedi, tabanı oluşturan iki dik ayrıtın çarpımıyla bulunur:

   $$\text{Taban Alanı} = a \cdot b$$

2. Yükseklik Boyunca Katmanlar: Prizmanın yüksekliği ($c$), tabandaki bu katmandan dikey olarak üst üste kaç sıra dizilebileceğini ifade eder.

3. Hacim Bağıntısı:

   $$\text{Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi} = \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} = a \cdot b \cdot c$$

Ayrıtlar üç farklı doğrultuda birbiriyle çarpıldığı için hacim ölçüsü $\text{br}^3$, $\text{cm}^3$ veya $\text{m}^3$ şeklinde küp birimleriyle belirtilir.

2. Özel Durumlar: Kare Prizma ve Küpün Hacmi

Kare prizma ve küp, dikdörtgenler prizmasının kenar uzunlukları özelleşmiş hâlleridir; dolayısıyla aynı hacim bağıntısı bu cisimlerde de geçerlidir:

• Kare Prizma: Tabanı kare ($a \times a$) ve yüksekliği $h$ olan prizmadır.

  $$\text{Hacim} = (a \cdot a) \cdot h = a^2 \cdot h$$

• Küp: Bütün ayrıt uzunlukları birbirine eşit ($a$) olan prizmadır.

  $$\text{Hacim} = a \cdot a \cdot a = a^3$$

3. Ayrıt Değişimlerinin Hacme Etkisi

Dikdörtgenler prizmasında hacim, ayrıtların çarpımına doğrudan bağımlıdır:

• Yalnızca yükseklik 2 katına çıkarılırsa hacim de 2 katına çıkar.

• Taban ayrıtlarından biri 2 katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indirilirse hacim değişmez ($2 \cdot \frac{1}{2} = 1$).

• Bir küpün her bir ayrıtı 2 katına çıkarılırsa hacmi $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ katına ($2^3$ kat) çıkar.

• Bir küpün her bir ayrıtı 3 katına çıkarılırsa hacmi $3^3 = 27$ katına çıkar.

4. Tamamı Çözümlü 5 Özgün Soru

Soru 1: Temel Boyutlandırma ve Katman Modeli

Ayrıt uzunlukları $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ ve $10\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahta bir blok, bir ayrıtı $1\text{ cm}$ olan eş küplerle doldurulacaktır.

Buna göre bu prizmanın taban katmanında kaç adet küp yer alır ve prizmanın toplam hacmi kaç $\text{cm}^3$‘tür?

Çözümü:

1. Taban ayrıtları $6\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ seçilirse, ilk katmandaki küp sayısı taban alanına eşit olur:

   $$\text{Taban Alanı} = 6 \cdot 8 = 48\text{ adet küp}$$

2. Yükseklik $10\text{ cm}$ olduğundan üst üste 10 katman oluşturulabilir:

   $$\text{Hacim} = \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} = 48 \cdot 10 = 480\text{ cm}^3$$

Soru 2: Ayrıt Değişimi ve Hacim Oranı

Ayrıt uzunlukları $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ ve $12\text{ cm}$ olan bir dikdörtgenler prizmasının:

• $4\text{ cm}$‘lik ayrıtı $2\text{ katına}$ çıkarılıyor,

• $5\text{ cm}$‘lik ayrıtı $3\text{ katına}$ çıkarılıyor,

• $12\text{ cm}$‘lik ayrıtı ise yarıya indiriliyor.

Buna göre yeni prizmanın hacmi ilk hacmin kaç katı olur?

Çözümü:

1. İlk Hacim:

   $$V_1 = 4 \cdot 5 \cdot 12 = 240\text{ cm}^3$$

2. Yeni Ayrıtlar:

   • $4 \cdot 2 = 8\text{ cm}$

   • $5 \cdot 3 = 15\text{ cm}$

   • $12 \div 2 = 6\text{ cm}$

3. Yeni Hacim:

   $$V_2 = 8 \cdot 15 \cdot 6 = 720\text{ cm}^3$$

4. Hacim Oranı:

   $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{720}{240} = 3\text{ kat}$$

   (Pratik kural: Ayrıt değişim katsayıları çarpımı $2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$ kat).

Soru 3: Prizmadan Parça Eksiltme

Ayrıt uzunlukları $10\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ ve $6\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir cismin köşesinden, bir ayrıtı $3\text{ cm}$ olan küp şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor.

Kalan cismin hacmi kaç $\text{cm}^3$‘tür?

Çözümü:

1. Cismin başlangıçtaki hacmi:

   $$V_{\text{ilk}} = 10 \cdot 8 \cdot 6 = 480\text{ cm}^3$$

2. Kesilip çıkarılan küp parçanın hacmi:

   $$V_{\text{küp}} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\text{ cm}^3$$

3. Kalan hacim:

   $$V_{\text{kalan}} = 480 – 27 = 453\text{ cm}^3$$

Soru 4: Taban Çevresinden Yüksekliğe Ulaşma

Kare prizma biçimindeki kapalı bir deponun taban çevresi $24\text{ dm}$‘dir.

Bu deponun iç hacmi $180\text{ dm}^3$ olduğuna göre deponun yüksekliği kaç desimetredir?

Çözümü:

1. Tabanı kare olduğundan bir taban ayrıtının uzunluğu:

   $$a = 24 \div 4 = 6\text{ dm}$$

2. Kare tabanın alanı:

   $$\text{Taban Alanı} = 6 \cdot 6 = 36\text{ dm}^2$$

3. Hacim bağıntısından yararlanılarak yükseklik ($h$) hesaplanır:

   $$\text{Hacim} = \text{Taban Alanı} \cdot h$$
   $$180 = 36 \cdot h \implies h = 180 \div 36 = 5\text{ dm}$$

Soru 5: Hacim Sabitken Taban Alanını En Büyük Yapma

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi $36\text{ cm}^3$‘tür. Prizmanın tüm ayrıt uzunlukları $1\text{ cm}$‘den büyüktür.

Buna göre bu prizmanın taban alanı en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabilir?

Çözümü:

1. Prizmanın hacim bağıntısı:

   $$a \cdot b \cdot c = 36$$

2. $a, b, c > 1$ şartını sağlayan üçlü çarpan grupları:

   • $2 \cdot 2 \cdot 9 = 36$

   • $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$

   • $3 \cdot 3 \cdot 4 = 36$

3. Taban alanı iki ayrıtın çarpımı ($a \cdot b$) olduğundan, alanın en büyük değeri alabilmesi için çarpanlar arasından en büyük iki sayı seçilmelidir:

   • $2, 2, 9$ için: $2 \cdot 9 = 18\text{ cm}^2$

   • $2, 3, 6$ için: $3 \cdot 6 = 18\text{ cm}^2$

   • $3, 3, 4$ için: $3 \cdot 4 = 12\text{ cm}^2$

4. Bu durumda taban alanı en fazla $18\text{ cm}^2$ olabilir (yükseklik $2\text{ cm}$ olur).