🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Hacim ve Kapasite Kavramı

Bir cismin uzayda kapladığı boşluğa o cismin hacmi denir. İçi boş bir kabın veya kutunun içine alabildiği madde miktarı ise o kabın kapasitesini ifade eder.

Bir prizmanın ya da kabın hacmini belirlemenin en temel yolu, o kabı aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde standart veya eş nesnelerle doldurmaktır. İçine sığdırılabilen eş nesne sayısı, o kabın hacmini seçilen birim cinsinden verir.

2. Neden “Eş Nesneler” Kullanılmalıdır?

Farklı kapların hacimlerini veya kapasitelerini birbiriyle karşılaştırabilmek için ölçümün mutlaka aynı boyut ve şekle sahip özdeş nesnelerle yapılması gerekir:

• Bir kutuyu küçük bilyelerle, diğer kutuyu büyük pinpon toplarıyla doldurmak yanıltıcı sonuç verir.

• Küre veya silindir gibi yuvarlak nesneler kutuya dizildiğinde aralarında boşluklar kalır. Bu nedenle hacmi tam ve kusursuz ölçmek için en uygun birim, aralarında hiç boşluk bırakmadan yan yana ve üst üste dizilebilen eş küplerdir (birim küpler).

3. Prizmanın Hacmini Birim Küplerle Yorumlama

Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun içine kaç adet birim küp sığacağını bulmak için küpleri tek tek saymak yerine katman modeli kullanılır:

1. Taban Katmanı: Tabanın eni ve boyu boyunca yan yana dizilen küpler bir katman oluşturur:

   $$\text{Bir Katmandaki Küp Sayısı} = \text{En boyundaki küp sayısı} \times \text{Boy boyundaki küp sayısı}$$

2. Kat Sayısı (Yükseklik): Kutunun yüksekliği boyunca bu katmanlardan kaç tanesinin üst üste konulabileceği belirlenir.

3. Toplam Küp Sayısı (Hacim):

   $$\text{Hacim} = \text{Tabandaki Küp Sayısı} \times \text{Yükseklik (Katman Sayısı)}$$

4. Eşit Hacimli Farklı Yapılar

Hacimleri eşit olan iki cismin şekilleri veya ayrıt uzunlukları tamamen farklı olabilir:

• Örneğin, $12\text{ adet}$ birim küp kullanılarak farklı dikdörtgenler prizmaları oluşturulabilir:

  • $1 \times 1 \times 12$

  • $1 \times 2 \times 6$

  • $1 \times 3 \times 4$

  • $2 \times 2 \times 3$

• Bu prizmaların her birinin uzayda kapladığı yer (hacmi) 12 birimküptür; ancak taban alanları, yükseklikleri ve dış yüzey alanları birbirinden tamamen farklıdır.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Katman Yöntemiyle Hacim Bulma

Bir çocuk, dikdörtgenler prizması şeklindeki şeffaf oyuncak kutusunun tabanına bir kenarı $1\text{ cm}$ olan eş küplerden yan yana 6 sıra, her sırada 4 adet olacak şekilde yerleştirmiştir. Kutunun kapağının kapanabilmesi için bu şekilde üst üste toplam 5 kat küp dizilebilmektedir.

Buna göre bu kutunun hacmi kaç birimküptür (santimetreküptür)?

Çözümü:

1. Tabandaki (1. katmandaki) küp sayısını bulalım:

   $$\text{Taban Katmanı} = 6 \times 4 = 24\text{ adet küp}$$

2. Toplam katman sayısı (yükseklik): $5\text{ kat}$

3. Kutunun tamamını dolduran küp sayısı:

   $$\text{Toplam Hacim} = 24 \times 5 = 120\text{ birimküp (cm}^3\text{)}$$

Soru 2: Farklı Boyutlardaki Eş Kutuları Yerleştirme

Boyutları $2\text{ cm} \times 3\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması biçimindeki özdeş kibrit kutularından $30\text{ tanesi}$ aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde birleştirilerek büyük bir koli tamamen doldurulmuştur.

Buna göre doldurulan bu kolinin iç hacmi kaç santimetreküptür?

Çözümü:

1. Bir adet kibrit kutusunun hacmini hesaplayalım:

   $$\text{Bir Kutunun Hacmi} = 2 \times 3 \times 4 = 24\text{ cm}^3$$

2. Kolideki toplam kutu sayısı: $30\text{ adet}$

3. Kolinin toplam hacmi:

   $$\text{Toplam Hacim} = 30 \times 24 = 720\text{ cm}^3$$

Soru 3: Eksik Parçayı Tamamlama

İç hacmi $144\text{ birimküp}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun içine bir miktar birim küp yerleştirilmiş ve kutunun tabanına $24\text{ adet}$, 2. katına $18\text{ adet}$, 3. katına ise $10\text{ adet}$ birim küp konulmuştur.

Kutunun aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde tamamen doldurulabilmesi için kaç adet daha birim küpe ihtiyaç vardır?

Çözümü:

1. Kutunun içinde hâlihazırda bulunan küp sayısını toplayalım:

   $$\text{Mevcut Küp Sayısı} = 24 + 18 + 10 = 52\text{ adet}$$

2. Kutunun alabileceği toplam küp kapasitesi: $144\text{ adet}$

3. Gereken ek küp sayısı:

   $$144 – 52 = 92\text{ adet birim küp daha gereklidir.}$$

Soru 4: Eşit Hacimli Farklı Prizmalar Oluşturma

Bir marangoz çırağı, elindeki $24\text{ adet}$ özdeş ahşap birim küpün tamamını kullanarak tabanının iki kenarı da $1\text{ birimden büyük}$ olan bir dikdörtgenler prizması inşa etmek istemektedir.

Buna göre bu prizmanın yüksekliği (kat sayısı) kaç birim olabilir?

Çözümü:

1. Hacim bağıntısı:

   $$\text{En} \times \text{Boy} \times \text{Yükseklik} = 24$$

2. Şart: Taban kenarları (En ve Boy) $1$‘den büyük tam sayılar olmalıdır.

3. Çarpımları 24 olan üçlü çarpanları inceleyelim:

   • $2 \times 2 \times 6 = 24 \implies \text{Yükseklik } 6\text{ birim}$ (veya taban $2 \times 6$ seçilirse yükseklik $2\text{ birim}$)

   • $2 \times 3 \times 4 = 24 \implies \text{Yükseklik } 4\text{ birim}, 3\text{ birim veya } 2\text{ birim}$

4. Taban boyutları $1$‘den büyük tutulmak kaydıyla yüksekliğin alabileceği farklı tam sayı değerleri:

   2, 3, 4 veya 6 birim olabilir.

Soru 5: Hacim Kıyaslaması ve Eş Nesne Dönüşümü

Özdeş küp şekerlerle doldurulan iki farklı şekerlikten:

• A Şekerliği: Tabanında $5 \times 4 = 20\text{ adet}$ şeker bulunan ve $4\text{ kat}$ şeker alan bir prizmadır.

• B Şekerliği: Tabanında $6 \times 3 = 18\text{ adet}$ şeker bulunan ve $5\text{ kat}$ şeker alan bir prizmadır.

Buna göre hangi şekerliğin kapasitesi daha fazladır ve aralarındaki kapasite farkı kaç adet küp şekerdir?

Çözümü:

1. A Şekerliğinin Kapasitesi:

   $$\text{Hacim}_A = 20 \times 4 = 80\text{ adet küp şeker}$$

2. B Şekerliğinin Kapasitesi:

   $$\text{Hacim}_B = 18 \times 5 = 90\text{ adet küp şeker}$$

3. Kıyaslama ve Fark:

   • $90 > 80$ olduğu için B Şekerliğinin kapasitesi daha fazladır.

   • Fark: $90 – 80 = 10\text{ adet küp şeker}$.