1. Orantı Nedir?

İki veya daha fazla oranın birbirine eşit olmasına orantı denir.

• $a$‘nın $b$‘ye oranı ile $c$‘nin $d$‘ye oranı birbirine eşitse bu durum bir orantı oluşturur ($b, d \ne 0$):

  $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{veya} \quad a : b = c : d$$

• Bu gösterimde $a$ ile $d$‘ye dışlar, $b$ ile $c$‘ye ise içler adı verilir.

• Orantının en temel matematiksel kuralı: İçler çarpımı, dışlar çarpımına daima eşittir.

  $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

2. Orantı Sabiti ($k$)

Bir orantıyı oluşturan oranların sadeleştiğinde eşit olduğu sabit sayısal değere orantı sabiti denir ve genellikle $k$ harfi ile gösterilir.

• Buradan hareketle paydaki çokluklar orantı sabiti cinsinden ifade edilebilir:

  • $a = b \cdot k$

  • $c = d \cdot k$

• Örnek: $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$ ise $x = 3k$ ve $y = 5k$ olarak yazılır.

3. Orantının Temel Özellikleri

1. İçlerin veya Dışların Yer Değiştirmesi:

   $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \quad \text{veya} \quad \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$$

2. Oranların Ters Çevrilmesi:

   $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$$

3. Payların ve Paydaların Toplanması:

   Bir orantıda payların toplamı paydaların toplamına bölünürse orantı sabiti değişmez:

   $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \implies \frac{a + c}{b + d} = k$$

4. Orantı Türleri

A) Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır.

• Doğru orantılı iki çokluğun bölümü sabittir:

  $$\frac{y}{x} = k \implies y = k \cdot x$$

• Grafik: Doğru orantı grafiği orijinden ($(0,0)$ noktasından) geçen düz bir doğrudur.

• Problem Çözümü: Çapraz çarpım yapılır.

B) Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır.

• Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir:

  $$x \cdot y = k \implies y = \frac{k}{x}$$

• Grafik: Ters orantı grafiği eksenlere yaklaşan eğri (hiperbol) şeklindedir.

• Problem Çözümü: Karşılıklı (düz) çarpım yapılır.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: İçler-Dışlar Çarpımı ile Bilinmeyen Bulma

Yukarıda verilen orantıya göre $x$ değeri kaçtır?

Çözümü:

1. İçler-dışlar çarpımı (çapraz çarpım) uygulayalım:

   $$3 \cdot (2x – 3) = 5 \cdot (x + 4)$$

2. Çarpanları parantez içine dağıtalım:

   $$6x – 9 = 5x + 20$$

3. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:

   $$6x – 5x = 20 + 9$$
   $$x = 29$$

Soru 2: Orantı Sabiti ($k$) Kullanımı

$a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır.

ve $2a + b + c = 64$ olduğuna göre, $b$ sayısı kaçtır?

Çözümü:

1. Orantı sabitini $k$ olarak belirleyelim:

   $$\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = k$$

   • $a = 2k$

   • $b = 5k$

   • $c = 7k$

2. Verilen denklemde değerleri yerine yazalım:

   $$2 \cdot (2k) + 5k + 7k = 64$$
   $$4k + 5k + 7k = 64$$
   $$16k = 64 \implies k = 4$$

3. $b$ sayısının değerini bulalım:

   $$b = 5k = 5 \cdot 4 = 20$$

Soru 3: Doğru Orantı Problemi

Bir tekstil atölyesinde $6\text{ adet}$ özdeş dokuma makinesi günde $150\text{ metre}$ kumaş dokumaktadır.

Makinelerin çalışma kapasitesi değiştirilmeden makine sayısı $14$‘e çıkarılırsa bir günde kaç metre kumaş dokunur?

Çözümü:

1. Makine sayısı arttıkça üretilen kumaş miktarı da aynı oranda artacağı için bu durum bir doğru orantıdır.

2. Orantıyı kuralım:

   $$\begin{matrix} 6\text{ makine} & 150\text{ metre kumaş} \\ 14\text{ makine} & x\text{ metre kumaş} \end{matrix}$$

3. Doğru orantıda çapraz çarpım yapılır:

   $$6 \cdot x = 14 \cdot 150$$
   $$6x = 2100 \implies x = \frac{2100}{6} = 350\text{ metre kumaş}$$

Soru 4: Ters Orantı Problemi (İşçi – Zaman İlişkisi)

Bir inşaattaki duvarı aynı güçteki $8\text{ işçi}$ günde eşit süre çalışarak $15\text{ günde}$ örebilmektedir.

Aynı duvarın $6\text{ günde}$ bitirilebilmesi için aynı güçte kaç işçiye daha ihtiyaç vardır?

Çözümü:

1. İşin bitirilme süresi kısaldıkça gereken işçi sayısı artmak zorundadır. Bu nedenle bu durum bir ters orantıdır.

2. Orantıyı kuralım:

   $$\begin{matrix} 8\text{ işçi} & 15\text{ günde bitirirse} \\ y\text{ işçi} & 6\text{ günde bitirir} \end{matrix}$$

3. Ters orantıda karşılıklı (düz) çarpım yapılır:

   $$y \cdot 6 = 8 \cdot 15$$
   $$6y = 120 \implies y = 20\text{ işçi gereklidir.}$$

4. Soru “kaç işçiye daha ihtiyaç vardır” dediği için:

   $$20 – 8 = 12\text{ işçi daha gereklidir.}$$

Soru 5: Orantı Sabitinin Değişmezliği Kuralı

$x$ ve $y$ sıfırdan farklı sayılar olmak üzere:

olduğuna göre, $\frac{5x – 2y}{2x + y}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü:

1. Verilen orana göre değişkenleri ortak kat ($k$) cinsinden yazalım:

   • $x = 3k$

   • $y = 4k$

2. İstenen kesirde $x$ ve $y$ yerine bu değerleri yazalım:

   $$\frac{5 \cdot (3k) – 2 \cdot (4k)}{2 \cdot (3k) + 4k}$$

3. Çarpma işlemlerini yapalım:

   $$\frac{15k – 8k}{6k + 4k}$$

4. Pay ve paydadaki işlemleri tamamlayalım:

   $$\frac{7k}{10k}$$

5. $k$ çarpanları sadeleşir:

   $$\frac{7}{10}$$