1. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade etmek için iki temel yöntem kullanılır:

• Paydayı 10’un Kuvveti Yapma: Rasyonel sayının paydası uygun bir sayı ile genişletilerek veya sadeleştirilerek $10, 100, 1000 \dots$ yapılır.

  • $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

  • $-\frac{7}{20} = -\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = -\frac{35}{100} = -0,35$

• Payı Paydaya Bölme: Pay, paydaya bölünerek ondalık basamaklar elde edilir.

  • $\frac{5}{8} \implies 5 \div 8 = 0,625$

2. Sonlu ve Devirli Ondalık Gösterimler

Bir rasyonel sayı en sade hâline getirildikten sonra paydasının asal çarpanlarına bakılarak ondalık gösterimin türü belirlenir:

• Sonlu Ondalık Gösterim: En sade hâldeki paydanın asal çarpanları yalnızca $2$ ve/veya $5$ ise bu sayı sonlu bir ondalık gösterim belirtir.

  • $\frac{12}{25} \implies 25 = 5^2 \implies 0,48$ (Sonlu)

  • $\frac{18}{15} = \frac{6}{5} \implies 5 \implies 1,2$ (Sonlu)

• Devirli Ondalık Gösterim: En sade hâldeki paydada $2$ ve $5$ dışında başka bir asal çarpan ($3, 7, 11 \dots$) varsa bölme işlemi sonlanmaz; belirli basamaklar kendini tekrarlar. Tekrar eden basamakların üzerine devir çizgisi ($-$) konur.

  • $\frac{1}{3} = 0,333\dots = 0,\overline{3}$

  • $-\frac{4}{15} \implies 4 \div 15 = 0,2666\dots \implies -0,2\overline{6}$

3. Ondalık Gösterimleri $\frac{a}{b}$ Biçimine Dönüştürme

• Sonlu Ondalık Gösterimler: Virgül yokmuş gibi paya yazılır; paydaya ise $1$‘in yanına virgülden sonraki basamak sayısı kadar $0$ eklenir. Sadeleştirme yapılarak en sade hâle getirilir.

  • $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

  • $-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$

  • $0,007 = \frac{7}{1000}$

• Devirli Ondalık Gösterimler: Rasyonel sayıya dönüştürülürken şu kural uygulanır:

• Örnek 1: $0,\overline{4} = \frac{4 – 0}{9} = \frac{4}{9}$

• Örnek 2: $1,\overline{7} = \frac{17 – 1}{9} = \frac{16}{9}$

• Örnek 3: $0,1\overline{6} = \frac{16 – 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

• Örnek 4: $-2,1\overline{5} \implies -\left(\frac{215 – 21}{90}\right) = -\frac{194}{90} = -\frac{97}{45}$

Önemli Özel Durum (Dokuzun Devretmesi)

Devreden rakam yalnızca $9$ olduğunda, devreden $9$ atılır ve solundaki basamak $1$ artırılır:

• $0,\overline{9} = \frac{9 – 0}{9} = 1$

• $4,\overline{9} = \frac{49 – 4}{9} = \frac{45}{9} = 5$

• $1,2\overline{9} = 1,3$

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $1,3\overline{6} = \frac{a}{b}$ olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

1. Devirli sayıyı kesre dönüştürelim:

   $$1,3\overline{6} = \frac{136 – 13}{90} = \frac{123}{90}$$

2. En küçük $a + b$ değerini bulmak için kesri en sade hâline getirelim (3 ile sadeleşir):

   $$\frac{123 \div 3}{90 \div 3} = \frac{41}{30}$$

3. $a = 41$ ve $b = 30$ olur.

   $$a + b = 41 + 30 = 71$$