1. Oran ve Birim İlişkisi

İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. Karşılaştırılan iki çokluğun ölçü birimleri (metre, kilogram, saat, saniye, litre vb.), ortaya çıkan oranın türünü belirler.

İki çokluk oranlanırken:

• Çokluklar aynı türden birimlere sahipse veya birbirine dönüştürülebiliyorsa birimler sadeleşir.

• Çokluklar farklı türden (birbirine dönüştürülemeyen) birimlere sahipse birimler sadeleşmez ve oranın sonucuna yeni bir birim olarak eklenir.

Bu durum oranları ikiye ayırır: Birimsiz Oran ve Birimli Oran.

2. Birimsiz Oran

Aynı türden (aynı fiziksel büyüklüğü ifade eden) iki çokluğun karşılaştırılmasıyla elde edilen orana birimsiz oran denir.

• Pay ve paydadaki birimler aynı olduğunda (veya biri diğerine dönüştürüldüğünde) bölme işlemi sırasında birimler birbirini götürür (sadeleşir).

• Geriye yalnızca saf bir sayı kalır; yanına herhangi bir birim yazılmaz.

Örnekler:

• Aynı birimli çokluklar:

  $$\frac{12\text{ cm}}{18\text{ cm}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \quad \text{(Birimsiz)}$$

• Farklı görünen ancak aynı türe dönüştürülebilen çokluklar:

  $$\frac{3\text{ kg}}{750\text{ g}} = \frac{3000\text{ g}}{750\text{ g}} = \frac{3000}{750} = 4 \quad \text{(Birimsiz)}$$
  $$\frac{2\text{ metre}}{40\text{ cm}} = \frac{200\text{ cm}}{40\text{ cm}} = 5 \quad \text{(Birimsiz)}$$

3. Birimli Oran

Farklı türden (birbirine dönüştürülemeyen iki farklı fiziksel niceliğe ait) iki çokluğun karşılaştırılmasıyla elde edilen orana birimli oran denir.

• Birimler farklı cins olduğu için sadeleşmez.

• Oranın değeri bulunduktan sonra yanına mutlaka payın ve paydanın birimleri kesir şeklinde yazılır.

• Günlük hayattaki en yaygın birimli oran sürat (yol / zaman) ve yoğunluk (kütle / hacim) bağıntılarıdır.

Örnekler:

• Alınan yolun geçen süreye oranı:

  $$\frac{150\text{ km}}{2\text{ sa}} = 75\text{ km/sa}$$

• Harcanan yakıt miktarının alınan yola oranı:

  $$\frac{45\text{ L}}{600\text{ km}} = \frac{3}{40}\text{ L/km} = 0,075\text{ L/km}$$

• Maddenin kütlesinin hacmine oranı:

  $$\frac{240\text{ g}}{80\text{ cm}^3} = 3\text{ g/cm}^3$$

4. Birimli Oranlarda Birim Dönüşümü ($\text{km/sa} \leftrightarrow \text{m/sn}$)

Birimli oran sorularında en sık karşılaşılan dönüşüm, sürat birimleri olan $\text{km/sa}$ (kilometre/saat) ile $\text{m/sn}$ (metre/saniye) arasındaki dönüşümdür.

Temel Eşitlikler:

• $1\text{ km} = 1000\text{ metre}$

• $1\text{ saat} = 60\text{ dakika} = 3600\text{ saniye}$

Dönüşüm Yöntemi:

• $\text{km/sa}$ cinsinden verilen bir değeri $\text{m/sn}$‘ye çevirmek için sayı $1000$ ile çarpılıp $3600$‘e bölünür (veya pratik olarak $3,6$‘ya bölünür).

• $\text{m/sn}$ cinsinden verilen bir değeri $\text{km/sa}$‘e çevirmek için sayı $3600$ ile çarpılıp $1000$‘e bölünür (veya pratik olarak $3,6$ ile çarpılır).

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Oran Türünü Belirleme ve Sadeleştirme

Aşağıda verilen oranların türünü (Birimli veya Birimsiz) belirleyiniz ve en sade hâllerini bulunuz:

a) $150\text{ dakika}$‘nın $4\text{ saat}$‘e oranı

b) $84\text{ metre}$‘nin $7\text{ saniye}$‘ye oranı

c) $4,5\text{ kilogram}$‘ın $900\text{ gram}$‘a oranı

Çözümü:

• a) Her iki çokluk da zaman ölçüsüdür; birbirine dönüştürülebilir.

  $$4\text{ saat} = 4 \cdot 60 = 240\text{ dakika}$$
  $$\text{Oran} = \frac{150\text{ dk}}{240\text{ dk}} = \frac{150}{240} = \frac{5}{8} \quad \rightarrow \mathbf{Birimsiz\ Oran}$$

• b) Pay uzunluk (metre), payda zaman (saniye) bildirir; birbirine dönüştürülemez.

  $$\text{Oran} = \frac{84\text{ m}}{7\text{ sn}} = 12\text{ m/sn} \quad \rightarrow \mathbf{Birimli\ Oran}$$

• c) Her iki çokluk da kütle ölçüsüdür; birbirine dönüştürülebilir.

  $$4,5\text{ kg} = 4,5 \cdot 1000 = 4500\text{ gram}$$
  $$\text{Oran} = \frac{4500\text{ g}}{900\text{ g}} = \frac{4500}{900} = 5 \quad \rightarrow \mathbf{Birimsiz\ Oran}$$

Soru 2: Sürat Birimini $\text{km/sa}$‘ten $\text{m/sn}$‘ye Dönüştürme

Otoyolda sabit hızla ilerleyen hızlı trenin göstergesindeki sürat $180\text{ km/sa}$‘tir.

Bu trenin süratini $\text{m/sn}$ (metre/saniye) cinsinden birimli oran olarak ifade ediniz.

Çözümü:

1. Kilometreyi metreye, saati saniyeye çevirelim:

   • $180\text{ km} = 180 \cdot 1000 = 180.000\text{ metre}$

   • $1\text{ saat} = 3600\text{ saniye}$

2. Oranı kuralım:

   $$\text{Sürat} = \frac{180.000\text{ m}}{3600\text{ sn}}$$

3. Sadeleştirmeleri yapalım:

   $$\frac{1800\text{ m}}{36\text{ sn}} = 50\text{ m/sn}$$

Soru 3: Sürat Birimini $\text{m/sn}$‘den $\text{km/sa}$‘e Dönüştürme

Rüzgârlı bir günde yapılan ölçümde rüzgârın esme hızı $15\text{ m/sn}$ olarak kaydedilmiştir.

Rüzgârın bu hızının $\text{km/sa}$ (kilometre/saat) cinsinden değeri kaçtır?

Çözümü:

1. Rüzgâr $1\text{ saniyede } 15\text{ metre}$ yol almaktadır.

2. $1\text{ saatte}$ $3600\text{ saniye}$ vardır:

   $$\text{1 saatte alınan yol} = 15 \cdot 3600 = 54.000\text{ metre}$$

3. Metreyi kilometreye dönüştürelim ($1\text{ km} = 1000\text{ m}$):

   $$54.000\text{ m} = \frac{54.000}{1000} = 54\text{ km}$$

4. Birimli oran olarak yazılışı:

   $$\text{Hız} = 54\text{ km/sa}$$

Soru 4: İki Aracın Hızlarını Karşılaştırma

İki farklı yarış pistinde hareket eden iki araçtan:

• A aracı: $200\text{ metrelik}$ parkuru $8\text{ saniyede}$ tamamlamıştır.

• B aracı: $108\text{ kilometrelik}$ yolu $1\text{ saatte}$ almaktadır.

Buna göre hangi aracın daha hızlı olduğunu birim dönüşümü yaparak belirleyiniz.

Çözümü:

1. A Aracının Sürati:

   $$\text{Sürat}_A = \frac{200\text{ m}}{8\text{ sn}} = 25\text{ m/sn}$$

2. B Aracının Süratini $\text{m/sn}$‘ye Çevirelim:

   $$\text{Sürat}_B = 108\text{ km/sa} = \frac{108 \cdot 1000\text{ m}}{3600\text{ sn}} = \frac{108.000\text{ m}}{3600\text{ sn}} = \frac{1080}{36} = 30\text{ m/sn}$$

3. Karşılaştırma:

   • A aracı: $25\text{ m/sn}$

   • B aracı: $30\text{ m/sn}$

   • $30 > 25$ olduğundan B aracı daha hızlıdır.

Soru 5: Yakıt Tüketim Oranı ve Problem Çözme

Bir otomobil $450\text{ kilometrelik}$ mesafeyi gittiğinde $36\text{ litre}$ benzin tüketmiştir.

Buna göre:

a) Tüketilen yakıt miktarının gidilen yola oranını en sade hâliyle $\text{L/km}$ cinsinden bulunuz.

b) Bu otomobilin $100\text{ kilometrede}$ ortalama kaç litre yakıt tükettiğini hesaplayınız.

Çözümü:

1. a) $\text{L/km}$ Cinsinden Birimli Oran:

   $$\text{Oran} = \frac{36\text{ L}}{450\text{ km}}$$

   Her iki sayıyı da 18 ile sadeleştirelim:

   $$\frac{36 \div 18}{450 \div 18} = \frac{2}{25}\text{ L/km} \quad \text{veya ondalık olarak } 0,08\text{ L/km}$$

2. b) $100\text{ km}$‘deki Tüketim Hesabı:

   Araba $1\text{ km}$‘de $\frac{2}{25}\text{ L}$ yakıt tüketmektedir.

   $$100\text{ km’deki Tüketim} = 100 \cdot \frac{2}{25} = 4 \cdot 2 = 8\text{ litre}$$

   (Otomobilin $100\text{ km}$‘deki ortalama tüketimi $8\text{ litredir}$.)