1. Eşitsizlik Kavramı ve Semboller

İçinde bilinmeyen bulunan ve iki matematiksel ifadenin birbirine eşit olmadığını, birbirinden büyük veya küçük olduğunu belirten ifadelere eşitsizlik denir.

Eşitsizlikleri ifade ederken şu semboller kullanılır:

• $<$ (Küçüktür): Solundaki ifade sağındakinden küçüktür.

• $>$ (Büyüktür): Solundaki ifade sağındakinden büyüktür.

• $\le$ (Küçük veya eşittir): Solundaki ifade en fazla sağındakine eşit olabilir veya ondan küçüktür (“En çok”, “en fazla” ifadeleri).

• $\ge$ (Büyük veya eşittir): Solundaki ifade en az sağındakine eşit olabilir veya ondan büyüktür (“En az”, “en düşük” ifadeleri).

2. Gerçek Yaşam Cümlelerini Eşitsizliğe Dönüştürme

• “Bir sinema filmine $13$ yaşından küçükler giremez.” $\rightarrow x \ge 13$

• “Bir asansörün taşıma kapasitesi en çok $450\text{ kg}$‘dır.” $\rightarrow x \le 450$

• “Ahmet’in cebindeki para $50\text{ TL}$‘den fazladır.” $\rightarrow x > 50$

• “Bir su deposundaki su miktarı en fazla $120\text{ litredir}$.” $\rightarrow x \le 120$

3. Sayı Doğrusunda Gösterme Kuralları

Eşitsizliklerin çözüm kümesi sayı doğrusunda bir aralık olarak gösterilir:

• İçi Boş Halka ($\circ$): Eşitsizlikte eşitlik durumu yoksa ($<$ veya $>$), o sayının sınır noktası çözüme dâhil değildir; noktanın içi boş bırakılır.

• İçi Dolu Halka ($\bullet$): Eşitsizlikte eşitlik durumu varsa ($\le$ veya $\ge$), o sayı çözüme dâhildir; noktanın içi karalanarak doldurulur.

• Belirlenen sınırdan büyük değerler için çizginin sağı, küçük değerler için çizginin solu kalınlaştırılarak taranır.

4. Eşitsizlik Çözme Kuralları

Eşitsizlikler tıpkı birinci dereceden denklemler gibi çözülür. Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır. Ancak eşitsizliklerin denklemlerden ayrılan en kritik kuralı şudur:

1. Toplama ve Çıkarma: Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.

2. Pozitif Sayı ile Çarpma veya Bölme: Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez.

3. Negatif Sayı ile Çarpma veya Bölme (Kritik Kural): Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik kesinlikle yön değiştirir:

   • $<$ sembolü $>$ olur,

   • $\le$ sembolü $\ge$ olur.

   • Örneğin: $-2x \le 6$ eşitsizliğinde her iki taraf $-2$‘ye bölündüğünde yön döner: $x \ge -3$ olur.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Temel Eşitsizlik Çözümü ve Sayı Doğrusu

eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerinin aralığını bulunuz ve sayı doğrusunda gösterimini açıklayınız.

Çözümü:

1. $-5$ sayısını eşitsizliğin sağına $+5$ olarak geçirelim:

   $$3x < 16 + 5$$
   $$3x < 21$$

2. Her iki tarafı pozitif bir sayı olan $3$‘e bölelim (Pozitif sayıya böldüğümüz için yön değişmez):

   $$x < \frac{21}{3} \implies x < 7$$

3. Sayı Doğrusunda Gösterimi:

   Sayı doğrusunda $7$ noktası bulunur. Eşitlik olmadığı ($<$ kullanıldığı) için $7$ noktasının içi boş bırakılır ($\circ$) ve $7$‘nin sol tarafındaki tüm sayılar taranır.

Soru 2: Negatif Katsayı ve Yön Değiştirme

eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü:

1. Sabit terim olan $+4$‘ü eşitsizliğin sağına $-4$ olarak atalım:

   $$-5x \le 19 – 4$$
   $$-5x \le 15$$

2. $x$‘i yalnız bırakmak için her iki tarafı da $x$‘in katsayısı olan $-5$‘e bölelim:

   Negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik sembolü yön değiştirir ($\le$ iken $\ge$ olur):

   $$x \ge \frac{15}{-5}$$
   $$x \ge -3$$

3. Çözüm: $x$, $-3$‘e eşit veya $-3$‘ten büyük tüm reel sayılardır.

Soru 3: Parantez Dağılımı ve Bilinmeyenlerin Gruplanması

eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü:

1. Sol taraftaki $2$ çarpanını parantezin içine dağıtalım:

   $$6x – 8 > 4x + 6$$

2. Bilinmeyenleri solda, sayıları sağda toplayalım:

   $$6x – 4x > 6 + 8$$
   $$2x > 14$$

3. Her iki tarafı $2$‘ye bölelim:

   $$x > 7$$

4. $x$, $7$‘den kesinlikle büyük olmalıdır. $7$‘den büyük en küçük tam sayı $8$‘dir.

Soru 4: İki Taraflı (Aralık) Eşitsizliği

eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Çözümü:

1. Ortadaki $2x + 1$ ifadesindeki $+1$‘i yok etmek için eşitsizliğin her üç tarafından da $1$ çıkaralım:

   $$-5 – 1 \le 2x < 11 – 1$$
   $$-6 \le 2x < 10$$

2. Her tarafı pozitif $2$ sayısına bölelim:

   $$\frac{-6}{2} \le x < \frac{10}{2}$$
   $$-3 \le x < 5$$

3. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyelim ($-3$ dâhil, $5$ dâhil değil):

   $$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$

4. Bu tam sayıların toplamı:

   $$(-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 + 4 = 4$$

Soru 5: Gerçek Yaşam Problemi

Bir taksi durağında iki farklı tarife seçeneği sunulmaktadır:

• A Tarifesi: Açılış ücreti $40\text{ TL}$, kilometre başına $15\text{ TL}$

• B Tarifesi: Açılış ücreti $100\text{ TL}$, kilometre başına $10\text{ TL}$

Buna göre en az kaç kilometre yol gidildiğinde B tarifesi A tarifesinden daha ekonomik (daha ucuz) olur?

Çözümü:

1. Gidilen kilometreye $x$ diyelim.

2. Tarifelerin maliyet ifadelerini yazalım:

   • A Tarifesi Ücreti: $40 + 15x$

   • B Tarifesi Ücreti: $100 + 10x$

3. B tarifesinin daha ekonomik olması istendiğinden $B < A$ eşitsizliği kurulur:

   $$100 + 10x < 40 + 15x$$

4. Bilinmeyenleri düzenleyelim:

   $$100 – 40 < 15x – 10x$$
   $$60 < 5x \implies 5x > 60$$

5. Her iki tarafı $5$‘e bölelim:

   $$x > 12$$

6. $12\text{ kilometreden}$ sonra B tarifesi daha avantajlıdır. Kilometre tam sayı olarak düşünülürse en az $13\text{ kilometre}$ yol gidilmelidir.