1. Üçgende Açıortay

Bir üçgenin herhangi bir iç açısını ölçüleri birbirine eşit iki eş açıya ayıran ve köşeden karşı kenara uzanan doğru parçasına (veya ışına) açıortay denir.

• Genellikle $n$ veya $N$ harfi ile gösterilir (Örn: $A$ köşesine ait iç açıortay $n_A$ biçiminde gösterilir).

• Kollara İndirilen Dikmeler İlkesi: Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

• Kesişim Noktası: Bir üçgenin üç iç açıortayı daima üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin kenarlarına içeriden teğet olan iç teğet çemberinin merkezidir.

2. Üçgende Yükseklik

Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara (veya karşı kenarın uzantısına) indirilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir.

• Genellikle $h$ harfi ile gösterilir ($a$ kenarına ait yükseklik $h_a$ olarak yazılır).

• Yüksekliklerin kesişim noktasına diklik merkezi denir. Üçgenin çeşidine göre yüksekliklerin kesiştiği yer değişir:

  • Dar Açılı Üçgenlerde: Üç yükseklik de üçgenin iç bölgesinde kesişir.

  • Dik Açılı Üçgenlerde: Dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir. Dolayısıyla diklik merkezi tam olarak $90^\circ$‘lik dik açının bulunduğu köşedir.

  • Geniş Açılı Üçgenlerde: Geniş açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler üçgenin dışına düşer. Yüksekliklerin uzantıları üçgenin dış bölgesinde kesişir.

3. Üçgende Kenar Orta Dikme

Bir üçgenin kenarını tam ortasından iki eşit parçaya bölen ve bu kenara dik ($90^\circ$) olan doğruya kenar orta dikme denir.

• Önemli Fark: Kenar orta dikmenin bir köşeden geçme zorunluluğu yoktur (yalnızca ikizkenar ve eşkenar üçgende tabana ait kenar orta dikme tepe köşesinden geçer).

• Uç Noktalara Uzaklık İlkesi: Kenar orta dikme doğrusu üzerinde alınan herhangi bir noktanın, kenarın uç noktalarına (köşelere) olan uzaklıkları birbirine eşittir.

• Kesişim Noktası: Bir üçgenin üç kenarına ait kenar orta dikmeler tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin köşelerinden geçen çevrel çemberinin merkezidir.

  • Dar açılı üçgenlerde iç bölgede,

  • Dik açılı üçgenlerde hipotenüsün tam orta noktasında,

  • Geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde kesişir.

4. Üçgende Kenarortay

Bir üçgenin bir köşesini, bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

• Genellikle $V$ harfi ile gösterilir ($a$ kenarına ait kenarortay $V_a$ biçiminde sembolize edilir).

• Ağırlık Merkezi ($G$): Bir üçgenin üç kenarortayı daima üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve $G$ harfi ile gösterilir.

• 1’e 2 Oranı Kuralı: Ağırlık merkezi, kenarortayı kenara 1 birim, köşeye 2 birim uzaklıkta olacak şekilde böler. Kenara olan mesafe $k$ ise köşeye olan mesafe $2k$ birimdir.

• Alanı İkiye Bölme: Bir kenarortay doğru parçası, üçgenin alanını birbirine eşit iki alana böler.

5. Özel Üçgenlerde Bu Elemanların Durumu

İkizkenar Üçgen:

İkizkenar bir üçgende, eşit olmayan taban kenarına indirilen dikme; hem yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır. Aynı zamanda tabanın kenar orta dikme doğrusu bu köşeden geçer. Bu durum YAKİ (Yükseklik – Açıortay – Kenarortay – İkizkenar) kuralı olarak bilinir.

Eşkenar Üçgen:

Tüm kenarları ve açıları eşit olduğundan, her bir köşeden çizilen yükseklik aynı zamanda o kenarın kenarortayı ve o açının açıortayıdır:

Ağırlık merkezi, diklik merkezi, iç teğet çemberinin merkezi ve çevrel çemberinin merkezi tamamen aynı noktadır.

6. Çözümlü Sorular (5 Adet)

Soru 1: Açıortay ve Açı Hesabı

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısına ait $[AD]$ iç açıortayı çizilmiştir.

• $m(\widehat{B}) = 70^\circ$

• $m(\widehat{C}) = 40^\circ$

olduğuna göre, $m(\widehat{ADB})$ kaç derecedir?

Çözümü:

1. $ABC$ üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$‘dir:

   $$m(\widehat{A}) + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ \implies m(\widehat{A}) + 110^\circ = 180^\circ \implies m(\widehat{A}) = 70^\circ$$

2. $[AD]$ doğru parçası $A$ açısının açıortayı olduğundan $A$ açısını iki eşit parçaya böler:

   $$m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$$

3. $ABD$ üçgeninin iç açıları toplamından $m(\widehat{ADB})$ açısını bulalım:

   $$m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ$$
   $$35^\circ + 70^\circ + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ$$
   $$105^\circ + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ \implies m(\widehat{ADB}) = 75^\circ$$

Soru 2: Kenarortay ve Ağırlık Merkezi Oranı

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. $A$ köşesinden çizilen $[AD]$ kenarortay doğrusu $G$ noktasından geçmektedir.

• $\vert{}GD\vert{} = (x + 2)\text{ cm}$

• $\vert{}AG\vert{} = (3x – 1)\text{ cm}$

olduğuna göre, $\vert{}AD\vert{}$ kenarortayının toplam uzunluğu kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Ağırlık merkezi kuralına göre köşeye olan uzaklık ($\vert{}AG\vert{}$), kenara olan uzaklığın ($\vert{}GD\vert{}$) iki katıdır:

   $$\vert{}AG\vert{} = 2 \cdot \vert{}GD\vert{}$$

2. Değerleri denklemde yerine yazalım:

   $$3x – 1 = 2 \cdot (x + 2)$$
   $$3x – 1 = 2x + 4$$
   $$3x – 2x = 4 + 1 \implies x = 5$$

3. Parça uzunluklarını hesaplayalım:

   • $\vert{}GD\vert{} = 5 + 2 = 7\text{ cm}$

   • $\vert{}AG\vert{} = 3(5) – 1 = 15 – 1 = 14\text{ cm}$

4. Kenarortayın toplam uzunluğu:

   $$\vert{}AD\vert{} = \vert{}AG\vert{} + \vert{}GD\vert{} = 14 + 7 = 21\text{ cm}$$

Soru 3: İkizkenar Üçgende Yardımcı Elemanların Çakışması

Bir $ABC$ üçgeninde $\vert{}AB\vert{} = \vert{}AC\vert{} = 13\text{ cm}$ ve $\vert{}BC\vert{} = 10\text{ cm}$‘dir. $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına indirilen $[AH]$ dikmesi çizilmiştir.

Buna göre:

a) $\vert{}BH\vert{}$ uzunluğu kaç santimetredir?

b) Bu üçgenin $[BC]$ kenarına ait yüksekliği ($\vert{}AH\vert{}$) kaç santimetredir?

Çözümü:

1. İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Bu nedenle $[AH]$ dikmesi $[BC]$ kenarını iki eş parçaya böler:

   $$\vert{}BH\vert{} = \vert{}HC\vert{} = \frac{\vert{}BC\vert{}}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$$

2. $ABH$ üçgeni bir dik üçgendir ($m(\widehat{AHB}) = 90^\circ$). Pisagor bağıntısını uygulayalım:

   $$\vert{}AH\vert{}^2 + \vert{}BH\vert{}^2 = \vert{}AB\vert{}^2$$
   $$\vert{}AH\vert{}^2 + 5^2 = 13^2$$
   $$\vert{}AH\vert{}^2 + 25 = 169 \implies \vert{}AH\vert{}^2 = 144 \implies \vert{}AH\vert{} = 12\text{ cm}$$

Soru 4: Dik Üçgende Diklik Merkezi ve Hipotenüse Ait Kenarortay

$B$ köşesi $90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde:

• $\vert{}AB\vert{} = 6\text{ cm}$

• $\vert{}BC\vert{} = 8\text{ cm}$‘dir.

$B$ köşesinden $[AC]$ kenarının orta noktası olan $D$ noktasına bir $[BD]$ kenarortayı çizilmiştir.

a) Bu üçgenin diklik merkezi hangi noktadır?

b) $[BD]$ kenarortayının uzunluğu kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Diklik Merkezi: Dik açılı üçgenlerde dik kenarlar yükseklik olduğundan diklik merkezi dik açının tepe noktası olan $B$ noktasıdır.

2. Hipotenüs Uzunluğu: $ABC$ dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygularsak ($6-8-10$ özel dik üçgeni):

   $$\vert{}AC\vert{}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies \vert{}AC\vert{} = 10\text{ cm}$$

3. Muhteşem Üçlü Kuralı: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir:

   $$\vert{}BD\vert{} = \frac{\vert{}AC\vert{}}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$$

Soru 5: Kenar Orta Dikme Üzerindeki Nokta

Bir $[BC]$ kenarının orta dikme doğrusu $d$ doğrusudur. $d$ doğrusu üzerinde üçgenin dış bölgesinde bir $P$ noktası işaretlenmiştir.

$P$ noktasının $B$ köşesine olan uzaklığı $(4a – 7)\text{ cm}$, $C$ köşesine olan uzaklığı $(2a + 9)\text{ cm}$ olduğuna göre, $\vert{}PB\vert{}$ kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Kenar orta dikme doğrusu üzerindeki her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit mesafededir:

   $$\vert{}PB\vert{} = \vert{}PC\vert{}$$

2. Denklem kuralım:

   $$4a – 7 = 2a + 9$$
   $$4a – 2a = 9 + 7$$
   $$2a = 16 \implies a = 8$$

3. Uzunluğu bulalım:

   $$\vert{}PB\vert{} = 4(8) – 7 = 32 – 7 = 25\text{ cm}$$