1. Temel Formül ve İlişkilerin Özeti

Problem çözümlerine geçmeden önce üç temel prizma türünün yüzey alanı ve hacim bağıntılarını hatırlayalım:

2. Problem Çözümlerinde Kritik İlkeler

1. Birim Uyumu: Bir prizmanın hacmi veya alanı hesaplanırken tüm ayrıt uzunlukları mutlaka aynı uzunluk ölçü birimine ($\text{m}$, $\text{dm}$, $\text{cm}$) dönüştürülmelidir.

2. Sıvı ve Hacim Geçişleri:

   • $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$

   • $1\text{ m}^3 = 1000\text{ dm}^3 = 1000\text{ L}$

   • $1\text{ L} = 1000\text{ mL} = 1000\text{ cm}^3 \implies 1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$

3. Üstü Açık / Eksik Yüzey Durumları: Havuz kaplama, üstü açık kutu veya boyama problemlerinde tavan yüzeyi hesaplamaya dâhil edilmez:

   $$\text{Üstü Açık Prizma Alanı} = a \cdot b + 2 \cdot (a \cdot c + b \cdot c)$$

4. Cisimden Parça Kesilip Çıkarılması:

   • Köşeden bir küp çıkarıldığında eksilen yüzlerin yerine içeride aynı alana sahip eş yüzler oluştuğu için yüzey alanı değişmez, ancak hacim eksilen parçanın hacmi kadar azalır.

   • Kenardan veya yüzeyin ortasından parça çıkarıldığında yeni iç yüzeyler oluştuğu için yüzey alanı artabilir.

3. Tamamı Çözümlü 5 Özgün Problem

Problem 1: Konteyner ve Koli Yerleştirme Problemi

Uluslararası taşımacılıkta kullanılan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kargo konteynerinin iç ölçüleri $6\text{ m}$, $3\text{ m}$ ve $2,4\text{ m}$‘dir. Bu konteynerin içine taban ayrıtları $40\text{ cm} \times 50\text{ cm}$ ve yüksekliği $60\text{ cm}$ olan özdeş koli kutuları aralarında hiç boşluk kalmayacak şekilde istiflenecektir.

Buna göre bu konteyner en fazla kaç adet koli alabilir?

Çözümü:

1. Birimleri santimetreye çevirelim:

   • Konteynerin uzunluğu: $6\text{ m} = 600\text{ cm}$

   • Konteynerin genişliği: $3\text{ m} = 300\text{ cm}$

   • Konteynerin yüksekliği: $2,4\text{ m} = 240\text{ cm}$

2. Boyut boyut kaçar adet koli sığacağını bulalım:

   • Uzunluk boyunca: $600 \div 50 = 12\text{ koli}$ (veya $600 \div 40 = 15$)

   • Genişlik boyunca: $300 \div 40 = 7,5 \rightarrow$ Tam yerleşme için boyutları eşleştirelim:

     • $600\text{ cm}$‘lik kenara $50\text{ cm}$‘lik ayrıt: $600 \div 50 = 12\text{ sıra}$

     • $300\text{ cm}$‘lik kenara $60\text{ cm}$‘lik ayrıt: $300 \div 60 = 5\text{ sıra}$

     • $240\text{ cm}$‘lik yüksekliğe $40\text{ cm}$‘lik ayrıt: $240 \div 40 = 6\text{ kat}$

3. Toplam Koli Sayısı:

   $$\text{Toplam Koli} = 12 \cdot 5 \cdot 6 = 360\text{ adet}$$

   (Hacim yöntemiyle kontrol: Konteyner hacmi $= 600 \cdot 300 \cdot 240 = 43.200.000\text{ cm}^3$; 1 koli hacmi $= 40 \cdot 50 \cdot 60 = 120.000\text{ cm}^3$; Koli adedi $= 43.200.000 \div 120.000 = 360$).

Problem 2: Yüzme Havuzu Fayans Kaplama Maliyeti

Boyutları $25\text{ m}$, $10\text{ m}$ ve derinliği $2\text{ m}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir yüzme havuzunun tabanı ve dört yan duvarı fayansla kaplanacaktır.

Fayansın metrekare işçilik ve malzeme maliyeti $350\text{ TL}$ olduğuna göre havuzun kaplanması için kaç TL ödeme yapılır?

Çözümü:

1. Kaplanacak Yüzey Alanını Belirleyelim:

   Havuzun üstü açık olduğu için tavan yüzeyi hesaplanmaz:

   • Taban alanı: $25 \cdot 10 = 250\text{ m}^2$

   • Uzun yan duvarlar (2 adet): $2 \cdot (25 \cdot 2) = 100\text{ m}^2$

   • Kısa yan duvarlar (2 adet): $2 \cdot (10 \cdot 2) = 40\text{ m}^2$

2. Toplam Kaplanacak Alan:

   $$\text{Toplam Alan} = 250 + 100 + 40 = 390\text{ m}^2$$

3. Maliyet Hesabı:

   $$\text{Toplam Maliyet} = 390 \cdot 350 = 136.500\text{ TL}$$

Problem 3: Akvaryuma Kum İlavesi ve Sıvı Seviyesi Değişimi

Taban ayrıtları $50\text{ cm}$ ve $40\text{ cm}$, yüksekliği $35\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir akvaryumun içinde bir miktar su vardır. Akvaryuma dekoratif amaçla $6000\text{ cm}^3$ hacminde kum tamamen batacak şekilde yerleştirildiğinde su seviyesi yükselmiş ancak su taşmamıştır.

Buna göre kum eklendikten sonra akvaryumdaki su seviyesi kaç santimetre yükselmiştir?

Çözümü:

1. Temel Fizik ve Geometri İlkesi:

   Suya batan bir katı cisim, kendi hacmi kadar hacimde sıvının yerini değiştirir (yükseltir).

2. Taban Alanını Bulalım:

   $$\text{Taban Alanı} = 50 \cdot 40 = 2000\text{ cm}^2$$

3. Yükselme Miktarını ($h_{\text{artış}}$) Hesaplayalım:

   $$\text{Eklenen Hacim} = \text{Taban Alanı} \cdot h_{\text{artış}}$$
   $$6000 = 2000 \cdot h_{\text{artış}} \implies h_{\text{artış}} = 6000 \div 2000 = 3\text{ cm}$$

Cevap: Su seviyesi $3\text{ cm}$ yükselmiştir.

Problem 4: Ahşap Blok Bölme ve Yüzey Alanı Değişimi

Ayrıt uzunlukları $12\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ ve $30\text{ cm}$ olan kare prizma biçimindeki yekpare bir ahşap kütük, yüksekliğinin tam ortasından tabanına paralel bir testere darbesiyle kesilerek iki eş kare prizmaya ayrılıyor.

Buna göre elde edilen iki yeni parçanın yüzey alanları toplamı, başlangıçtaki kütüğün yüzey alanına göre nasıl değişmiştir (kaç $\text{cm}^2$ artmıştır)?

Çözümü:

1. Mantıksal Kısa Yol:

   Prizma tabana paralel olarak bir kez kesildiğinde, kesilen bölgede başlangıçta var olmayan iki yeni eş taban yüzeyi açığa çıkar. Diğer tüm dış yüzeyler korunur.

2. Açığa Çıkan Yeni Yüzeylerin Alanı:

   • Taban boyutları: $12\text{ cm} \times 12\text{ cm}$

   • Bir tabanın alanı: $12 \cdot 12 = 144\text{ cm}^2$

   • Kesimle birlikte bu tabandan 2 adet oluştuğu için:

     $$\text{Artış Miktarı} = 2 \cdot 144 = 288\text{ cm}^2$$

3. Formül ile Sağlama:

   • İlk Alan: $2 \cdot 12^2 + 4 \cdot (12 \cdot 30) = 288 + 1440 = 1728\text{ cm}^2$

   • Parçaların Boyutları: Her biri $12 \times 12 \times 15\text{ cm}$ boyutlarında iki kare prizma.

   • 1 Parçanın Alanı: $2 \cdot 12^2 + 4 \cdot (12 \cdot 15) = 288 + 720 = 1008\text{ cm}^2$

   • İki Parçanın Toplam Alanı: $2 \cdot 1008 = 2016\text{ cm}^2$

   • Fark: $2016 – 1728 = 288\text{ cm}^2$ artış.

Problem 5: Musluk Dolum Süresi ve Litre Dönüşümü

İç boyutları $1,2\text{ m}$, $0,8\text{ m}$ ve $0,5\text{ m}$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir su deposu, dakikada $16\text{ litre}$ su akıtan sabit debili bir musluk ile doldurulacaktır.

Buna göre boş deponun tamamen dolması kaç dakika sürer?

Çözümü:

1. Deponun Hacmini $\text{m}^3$ Cinsinden Bulalım:

   $$V = 1,2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 = 0,48\text{ m}^3$$

2. $\text{m}^3$‘ü Litreye Dönüştürelim:

   • $1\text{ m}^3 = 1000\text{ dm}^3 = 1000\text{ L}$

     $$\text{Depo Kapasitesi} = 0,48 \cdot 1000 = 480\text{ litre}$$

3. Dolum Süresini Hesaplayalım:

   $$\text{Süre} = \frac{\text{Toplam Kapasite}}{\text{Dakikadaki Akış Miktarı}} = \frac{480}{16} = 30\text{ dakika}$$