1. Tümleyen Olay Nedir?

Bir olayın gerçekleşmeme durumunu ifade eden yeni olaya, o olayın tümleyen olayı denir.

• Bir deneyde incelenen olay $A$ kümesi ile gösterilirse, bu olayın gerçekleşmeme durumunu ifade eden tümleyen olay genellikle $A’$ veya $\overline{A}$ sembolü ile gösterilir.

• Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası çıktıların oluşturduğu küme örnek uzay ($E$) olduğundan; bir olay ile o olayın tümleyeni bir araya geldiğinde örnek uzayın tamamını oluşturur:

  $$A \cup A’ = E$$

• $A$ olayı ile $A’$ olayının aynı anda gerçekleşmesi imkânsızdır; ortak hiçbir elemanları yoktur (ayrık olaylardır):

  $$A \cap A’ = \emptyset$$

2. Tümleyen Olayın Olasılık Değeri

Bir deneyde bir olayın gerçekleşmesi ile gerçekleşmemesi birbirini kesin duruma (örnek uzaya) tamamlar. Bu nedenle:

Bu bağıntıdan yola çıkılarak tümleyen olayın olasılığı şu şekilde hesaplanır:

3. “En Az Bir” İfadelerinde Tümleyen Olay Kuralı

Olasılık problemlerinde “en az bir tanesinin gerçekleşmesi” istendiğinde tüm durumları tek tek listelemek yerine tümleyen olay mantığını kullanmak çözümü oldukça kısaltır:

Örneğin iki madenî para atıldığında “en az bir tura gelmesi” olayının tümleyeni “hiç tura gelmemesi” (yani her ikisinin de yazı gelmesi) durumudur.

4. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Temel Tümleyen Olay Hesabı

Bir torbadan rastgele çekilen bir topun mavi renkte olma olasılığı $\frac{3}{8}$‘dir.

Buna göre, çekilen topun mavi renkte olmama olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Mavi gelme olayına $M$ diyelim:

   $$P(M) = \frac{3}{8}$$

2. Mavi gelmeme durumu, $M$ olayının tümleyenidir ($M’$):

   $$P(M’) = 1 – P(M)$$

3. Değeri yerine yazalım:

   $$P(M’) = 1 – \frac{3}{8} = \frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$

Soru 2: Zar Deneyinde Asal Sayı Gelmeme Durumu

Hilesiz bir zar havaya atılıyor.

Zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı olmama olasılığını tümleyen olay bağıntısını kullanarak hesaplayınız.

Çözümü:

1. Örnek Uzay ($E$):

   $$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies s(E) = 6$$

2. Asal Sayı Gelme Olayı ($A$):

   $$A = \{2, 3, 5\} \implies s(A) = 3$$

3. Asal Sayı Gelme Olasılığı:

   $$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

4. Asal Sayı Gelmeme Olasılığı ($A’$):

   $$P(A’) = 1 – P(A) = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Soru 3: İki Paranın Atılmasında “En Az Bir” Problemi

İki madenî para aynı anda havaya atılıyor.

Paralardan en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. İstenen durum: “En az bir yazı gelmesi” ($A$).

2. Bu durumun tümleyeni: “Hiç yazı gelmemesi”, yani her iki paranın da tura gelmesi ($A’$) durumudur.

3. Örnek uzayın eleman sayısı:

   $$E = \{(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)\} \implies s(E) = 4$$

4. Hiç yazı gelmeme durumu:

   $$A’ = \{(T, T)\} \implies s(A’) = 1$$
   $$P(A’) = \frac{1}{4}$$

5. En az bir yazı gelme olasılığı:

   $$P(A) = 1 – P(A’) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Soru 4: Sayı Kartlarından Çift Sayı Çıkmama Olasılığı

Üzerinde 1’den 25’e kadar (1 ve 25 dâhil) tam sayıların yazılı olduğu 25 eş kart bir kutuya bırakılıyor. Kutudan rastgele bir kart seçiliyor.

Çekilen kartın üzerindeki sayının çift sayı olmama olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzay Sayısı:

   $$s(E) = 25$$

2. Çift Sayılar Kümesi ($C$):

   $$C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24\} \implies s(C) = 12$$

3. Çift Sayı Gelme Olasılığı:

   $$P(C) = \frac{12}{25}$$

4. Çift Sayı Olmama Olasılığı ($C’$):

   $$P(C’) = 1 – P(C) = 1 – \frac{12}{25} = \frac{13}{25}$$

Soru 5: Halka Atma Oyunu ve Iskalama Olasılığı

Bir panayır oyununda hedef tahtasına halka atan bir oyuncunun hedefi vurma olasılığı $\%72$‘dir.

Bu oyuncunun hedefi vuramama (ıskalama) olasılığını en sade kesir biçiminde bulunuz.

Çözümü:

1. Hedefi vurma olasılığını rasyonel sayı olarak yazalım:

   $$P(\text{Vurma}) = \frac{72}{100}$$

2. Vuramama olasılığı, vurma olayının tümleyenidir:

   $$P(\text{Vuramama}) = 1 – P(\text{Vurma}) = 1 – \frac{72}{100} = \frac{28}{100}$$

3. Kesri 4 ile sadeleştirelim:

   $$\frac{28 \div 4}{100 \div 4} = \frac{7}{25}$$