1. Eşit Olasılıklı Olay Nedir?

Bir olasılık deneyinde yer alan çıktıların veya olayların gerçekleşme şanslarının (olasılık değerlerinin) birbirine tamamen eşit olması durumuna eşit olasılıklı olaylar denir.

• Bir deneyde her bir çıktının şansı eşitse, bu tür durumlara eş olasılıklı durumlar adı verilir.

• Eğer bir deneydeki tüm durumlar eş olasılıklı değilse, gerçekleşme şansı daha yüksek olan duruma daha fazla olasılıklı, gerçekleşme şansı daha düşük olan duruma ise daha az olasılıklı denir.

2. Eş Olasılıklı Durumlarda Olasılık Hesabı

Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası çıktıların sayısı $n$ olsun. Eğer bu $n$ adet çıktının her birinin gerçekleşme şansı birbirine eşitse:

• Her bir çıktının gerçekleşme olasılığı:

  $$P = \frac{1}{n}$$

• Hilesiz Madenî Para Deneyi: İki olası çıktı vardır: $\{Yazı, Tura\}$.

  $$P(\text{Yazı}) = \frac{1}{2}, \quad P(\text{Tura}) = \frac{1}{2}$$

  Yazı ve tura gelme olayları eşit olasılıklıdır.

• Hilesiz Zar Deneyi: Altı olası çıktı vardır: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Her bir yüzün gelme olasılığı $\frac{1}{6}$‘dır; dolayısıyla zardaki sayıların her biri eşit olasılıklıdır.

• Zarda tek sayı gelme olayı $\{1, 3, 5\}$ ile çift sayı gelme olayı $\{2, 4, 6\}$ ele alındığında:

  $$P(\text{Tek}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(\text{Çift}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

  Bu iki olay eşit olasılıklıdır.

3. Eşit Olasılıklı Olmayan Durumlar

Bir torbada 7 kırmızı ve 3 mavi bilye bulunuyorsa:

• Kırmızı bilye gelme olasılığı: $\frac{7}{10}$ (Daha fazla olasılıklı)

• Mavi bilye gelme olasılığı: $\frac{3}{10}$ (Daha az olasılıklı)

• Bu iki olay eşit olasılıklı değildir. Olayların eşit olasılıklı olabilmesi için torbadaki kırmızı ve mavi bilye sayılarının eşit olması gerekir.

4. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Eşit Olasılık Kavramını Belirleme

Aşağıda verilen durumların hangilerinde olayların eşit olasılıklı olduğunu, hangilerinde olmadığını belirtiniz:

a) Hilesiz bir zar atıldığında gelen sayının “asal sayı” veya “asal olmayan sayı” olması.

b) Bir torbadaki 6 siyah ve 6 beyaz toptan rastgele çekilen bir topun rengi.

c) “ANKARA” kelimesinin harflerinin yazılı olduğu özdeş kartlardan rastgele bir kart çekildiğinde gelen harfin “A” veya “R” olması.

Çözümü:

• a) Zardaki sayılar: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

  • Asal sayılar: $\{2, 3, 5\} \implies 3\text{ adet} \implies P(\text{Asal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  • Asal olmayan sayılar: $\{1, 4, 6\} \implies 3\text{ adet} \implies P(\text{Asal Değil}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  • Olasılıklar eşit olduğu için $\rightarrow$ EŞİT OLASILIKLIDIR.

• b) Torbada 6 siyah ve 6 beyaz top vardır. Toplam top sayısı $12$‘dir.

  • $P(\text{Siyah}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

  • $P(\text{Beyaz}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

  • Sayılar eşit olduğundan $\rightarrow$ EŞİT OLASILIKLIDIR.

• c) “ANKARA” kelimesinde 6 harf vardır: 3 tane A, 1 tane N, 1 tane K, 1 tane R.

  • $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  • $P(R) = \frac{1}{6}$

  • $\frac{1}{2} \ne \frac{1}{6}$ olduğundan $\rightarrow$ EŞİT OLASILIKLI DEĞİLDİR (A gelmesi daha fazla olasılıklıdır).

Soru 2: Eşit Olasılık Sağlamak İçin Nesne Ekleme/Çıkarma

Bir kutuda aynı büyüklükte $14$ sarı, $10$ yeşil ve $8$ mavi bilye bulunmaktadır.

Kutudan rastgele çekilen bir bilyenin sarı, yeşil veya mavi renkte olma olaylarının eşit olasılıklı hâle gelmesi için kutudan en az kaç bilye çıkarılmalıdır?

Çözümü:

1. Olayların eşit olasılıklı olması için her renkten bilye sayısının birbirine eşit olması gerekir.

2. En az bilye çıkararak eşitlik sağlamak için mevcut renkler arasındaki en küçük sayı referans alınmalıdır:

   • En küçük sayı mavi bilye sayısıdır: $8$

3. Diğer bilye sayıları da 8’e indirilmelidir:

   • Çıkarılacak sarı bilye sayısı: $14 – 8 = 6$

   • Çıkarılacak yeşil bilye sayısı: $10 – 8 = 2$

4. Toplam çıkarılması gereken en az bilye sayısı:

   $$6 + 2 = 8\text{ bilye çıkarılmalıdır.}$$

Soru 3: Çark Çevirme Oyunu ve Eşit Dilimler

Bir çarkıfelek dairesi $8$ eş dilime ayrılmıştır. Dilimlerin üzerine sayılar şu şekilde yazılmıştır:

Çark bir kez çevrildiğinde okun gösterdiği sayının:

a) “Tek sayı” olma olasılığı ile “çift sayı” olma olasılığı eşit midir?

b) “3’ün katı bir sayı” olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Tek ve Çift Sayıların Dağılımı:

   • Tek sayılar: $\{3, 5, 15, 21\} \implies 4\text{ adet}$

   • Çift sayılar: $\{8, 12, 18, 24\} \implies 4\text{ adet}$

   • $P(\text{Tek}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ve $P(\text{Çift}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ olduğundan bu iki olay eşit olasılıklıdır.

2. 3’ün Katı Olan Sayılar:

   • Sayılar: $\{3, 12, 15, 18, 21, 24\} \implies 6\text{ adet}$

   • $P(\text{3’ün katı}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Soru 4: Sınıf Temsilcisi Seçiminde Eşit Şans

Bir sınıfta $12$ kız ve $16$ erkek öğrenci bulunmaktadır. Sınıftan rastgele bir öğrenci sınıf başkanı seçilecektir.

Bu seçimde seçilen kişinin kız veya erkek olma olasılıklarının eşit olabilmesi için sınıfa kaç kız öğrenci daha katılmalıdır?

Çözümü:

1. Seçilecek başkanın kız veya erkek olma olayının eşit olasılıklı olması için kız ve erkek öğrenci sayılarının birbirine eşit olması gerekir.

2. Erkek öğrenci sayısı: $16$

3. Mevcut kız öğrenci sayısı: $12$

4. Eşitlik için sınıfa katılması gereken kız öğrenci sayısı:

   $$16 – 12 = 4\text{ kız öğrenci daha katılmalıdır.}$$

   (Bu durumda toplam mevcut $32$ olur; $P(\text{Kız}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$, $P(\text{Erkek}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ olur).

Soru 5: İki Zar Atılması Deneyinde Çıktı Karşılaştırması

İki zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamı inceleniyor.

Zarların üst yüzündeki sayıların toplamının $7$ gelme olayı ile $8$ gelme olayı eşit olasılıklı mıdır? Nedenini olası çıktıları listeleyerek açıklayınız.

Çözümü:

1. Toplamın $7$ Olma Durumları ($A$):

   $$(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \implies 6\text{ farklı çıktı}$$
   $$P(\text{Toplam 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

2. Toplamın $8$ Olma Durumları ($B$):

   $$(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) \implies 5\text{ farklı çıktı}$$
   $$P(\text{Toplam 8}) = \frac{5}{36}$$

3. Karşılaştırma:

   $\frac{6}{36} \ne \frac{5}{36}$ olduğundan bu iki olay eşit olasılıklı değildir. Toplamın 7 gelme olasılığı, 8 gelme olasılığından daha fazladır.