1. Doğru Orantının Matematiksel Mantığı

İki çokluktan biri belli bir oranda artarken diğerinin de aynı oranda artması veya biri belli bir oranda azalırken diğerinin de aynı oranda azalması durumuna doğru orantı denir.

• Doğru orantılı iki çokluğun bölümü daima sabittir:

  $$\frac{y}{x} = k \quad (k: \text{Orantı Sabiti})$$

• Buradan hareketle $y = k \cdot x$ eşitliği yazılabilir.

2. Doğru Orantı Problemlerinde Çözüm Yolları

Doğru orantı içeren problemleri çözerken temel olarak iki farklı yöntemden yararlanılır:

Yöntem 1: Çapraz Çarpım (İçler – Dışlar Çarpımı)

Çokluklar aynı türden olanlar alt alta gelecek şekilde yazılır. Çokluklar arasında doğru orantı olduğu belirlendikten sonra çapraz olarak çarpılıp birbirine eşitlenir:

Yöntem 2: Kat İlişkisi (Orantı Sabiti $k$)

Çokluklar arasındaki kat artışı incelenir. Çokluklardan biri kaç katına çıkmışsa diğeri de aynı katına çıkar. Benzer şekilde paylaştırılan paylar $k$ katsayısıyla ($2k, 5k$ vb.) ifade edilerek denklem kurulur.

3. Günlük Hayatta Karşılaşılan Doğru Orantı Durumları

• Alınan ürün miktarı (kg, adet) ile ödenen para miktarı (TL)

• Sabit hızla hareket eden bir aracın hareket süresi ile aldığı yol

• Bir tarifte kullanılan malzeme miktarları arasındaki ilişki

• Bir iş yerinde çalışılan süre ile kazanılan ücret

• Harita üzerindeki uzunluk ile gerçek arazi uzunluğu (Ölçek)

4. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Birim Maliyet ve Kat İlişkisi

Bir manavda $6\text{ kilogram}$ çilek $210\text{ TL}$‘ye satılmaktadır.

Buna göre aynı çilekten $15\text{ kilogram}$ alan bir müşteri kaç TL ödeme yapar?

Çözümü:

1. Alınan çilek miktarı arttıkça ödenecek tutar da aynı oranda artacağından bu durum bir doğru orantıdır.

2. Orantıyı kuralım:

   $$\begin{matrix} 6\text{ kg çilek} & 210\text{ TL} \\ 15\text{ kg çilek} & x\text{ TL} \end{matrix}$$

3. Çapraz çarpım yapalım:

   $$6 \cdot x = 15 \cdot 210$$
   $$6x = 3150 \implies x = \frac{3150}{6} = 525\text{ TL}$$

Soru 2: Sabit Hız ve Alınan Yol

Sabit hızla giden bir otomobil $3\text{ saatte}$ $270\text{ kilometre}$ yol almaktadır.

Bu otomobil aynı hızla $450\text{ kilometrelik}$ yolu kaç saatte tamamlar?

Çözümü:

1. Alınan yol arttıkça geçen süre de aynı oranda artacağı için çokluklar doğru orantılıdır.

2. Orantıyı kuralım:

   $$\begin{matrix} 3\text{ saatte} & 270\text{ km} \\ t\text{ saatte} & 450\text{ km} \end{matrix}$$

3. Çapraz çarpım uygulayalım:

   $$270 \cdot t = 3 \cdot 450$$
   $$270t = 1350 \implies t = \frac{1350}{270} = 5\text{ saat}$$

Soru 3: Yaşlarla Doğru Orantılı Paylaşım

Bir dede, $1200\text{ TL}$ bayram harçlığını yaşları 6, 8 ve 10 olan üç torununa yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırmıştır.

Buna göre en büyük torun kaç TL harçlık almıştır?

Çözümü:

1. Çocukların alacakları paralar yaşları ile doğru orantılı olduğundan her birinin alacağı payı $k$ orantı sabiti cinsinden yazalım:

   • En küçük torun ($6$ yaş): $6k$

   • Ortanca torun ($8$ yaş): $8k$

   • En büyük torun ($10$ yaş): $10k$

2. Harçlıkların toplamını $1200\text{ TL}$‘ye eşitleyelim:

   $$6k + 8k + 10k = 1200$$
   $$24k = 1200 \implies k = \frac{1200}{24} = 50$$

3. En büyük torunun payı:

   $$\text{Pay} = 10k = 10 \cdot 50 = 500\text{ TL}$$

Soru 4: Harita Ölçeği Problemi

Ölçeği $\frac{1}{200.000}$ olan bir haritada iki şehir arasındaki mesafe cetvelle $8\text{ cm}$ olarak ölçülmüştür.

Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?

Çözümü:

1. Ölçek formülü harita uzunluğunun gerçek uzunluğa oranıdır ve bir doğru orantı belirtir:

   $$\frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} = \frac{1}{200.000}$$

2. Değerleri yerine yazalım:

   $$\frac{8\text{ cm}}{X} = \frac{1}{200.000}$$

3. İçler-dışlar çarpımı yapalım:

   $$X = 8 \cdot 200.000 = 1.600.000\text{ cm}$$

4. Santimetreyi kilometreye çevirelim:

   • $1\text{ m} = 100\text{ cm}$

   • $1\text{ km} = 1000\text{ m} = 100.000\text{ cm}$

     $$X = \frac{1.600.000}{100.000} = 16\text{ km}$$

Soru 5: Karışım ve Hammadde Oranı

Bir un fabrikasında $25\text{ kg}$ buğdaydan $20\text{ kg}$ un elde edilmektedir.

Buna göre:

a) $140\text{ kg}$ un elde etmek için kaç kilogram buğday öğütülmelidir?

b) $60\text{ kg}$ buğdaydan kaç kilogram un elde edilir?

Çözümü:

1. a Şıkkı:

   $$\begin{matrix} 25\text{ kg buğday} & 20\text{ kg un} \\ x\text{ kg buğday} & 140\text{ kg un} \end{matrix}$$

   Kat ilişkisinden un miktarı $7$ katına çıkmıştır ($140 \div 20 = 7$). Buğday miktarı da $7$ katına çıkmalıdır:

   $$x = 25 \cdot 7 = 175\text{ kg buğday gerekir.}$$

2. b Şıkkı:

   $$\begin{matrix} 25\text{ kg buğday} & 20\text{ kg un} \\ 60\text{ kg buğday} & y\text{ kg un} \end{matrix}$$

   Çapraz çarpım yapalım:

   $$25 \cdot y = 60 \cdot 20$$
   $$25y = 1200 \implies y = \frac{1200}{25} = 48\text{ kg un elde edilir.}$$