1. Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kesirlerin paydalarının eşit olması zorunludur. Paydalar eşit değilse genişletme veya sadeleştirme yöntemleriyle ortak bir paydada buluşturulur.

• Toplama İşlemi: Paydaları eşitlenen rasyonel sayıların payları, tam sayılardaki toplama kurallarına göre toplanıp paya yazılır; ortak payda aynen korunur.

  $$\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right) = \left(-\frac{5}{10}\right) + \left(-\frac{2}{10}\right) = \frac{(-5) + (-2)}{10} = -\frac{7}{10}$$

• Çıkarma İşlemi: Eksilen rasyonel sayı ile çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi (zıt işaretlisi) toplanır.

  $$\left(-\frac{3}{4}\right) – \left(+\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{9}{12}\right) + \left(-\frac{8}{12}\right) = \frac{(-9) + (-8)}{12} = -\frac{17}{12}$$

Tam Sayılı Kesir Uyarısı:

Tam sayılı rasyonel sayılarla işlem yapılırken tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirerek işlem yapmak hata payını en aza indirir:

$$-2\frac{1}{3} = -\left(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}\right) = -\frac{7}{3}$$

2. Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

• Değişme Özelliği: Sayıların yer değiştirmesi toplamı değiştirmez ($a + b = b + a$).

• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı toplanırken parantezin yerinin değişmesi sonucu etkilemez.

• Etkisiz Eleman: Rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0‘dır ($a + 0 = a$).

• Ters Eleman: Toplamları $0$‘ı veren iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. $\frac{a}{b}$ sayısının tersi $-\frac{a}{b}$‘dir.

3. Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında çarpılıp sonucun payına, paydalar kendi arasında çarpılıp sonucun paydasına yazılır. Payda eşitlemesi yapılmaz.

İşaret kuralı tam sayılardaki gibidir:

• Aynı işaretlilerin çarpımı pozitif (+)

• Zıt işaretlilerin çarpımı negatif (-)

Önemli İpucu: Çarpma işlemine başlamadan önce pay ile payda arasında çapraz veya alt-üst sadeleştirme yapmak işlemleri büyük ölçüde kolaylaştırır. Tam sayılı kesirler mutlaka bileşik kesre çevrilerek çarpılmalıdır.

4. Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri

• Değişme ve Birleşme Özelliği: Çarpanların sırası veya gruplanması sonucu değiştirmez.

• Etkisiz Eleman: Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1‘dir.

• Yutan Eleman: Çarpma işleminin yutan elemanı 0‘dır ($a \cdot 0 = 0$).

• Ters Eleman: Çarpımları $1$ olan iki rasyonel sayı birbirinin çarpma işlemine göre tersidir. $\frac{a}{b}$ sayısının çarpma işlemine göre tersi $\frac{b}{a}$‘dır ($a, b \ne 0$).

• Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır:

  $$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

5. Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci sayı (bölünen) aynen kalır, ikinci sayı (bölen) ters çevrilip (çarpma işlemine göre tersi alınarak) birinci sayı ile çarpılır:

• Bir rasyonel sayının $1$‘e bölümü o sayının kendisine eşittir.

• $1$‘in sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölümü, o sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

• Bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

6. Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Kare ve Küp)

Bir rasyonel sayının karesi veya küpü alınırken pay ve paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır:

• Pozitif rasyonel sayıların bütün kuvvetleri daima pozitiftir.

• Negatif rasyonel sayıların:

  • Çift kuvvetleri pozitiftir (+): $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = +\frac{4}{9}$

  • Tek kuvvetleri negatiftir (-): $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$

7. Çok Adımlı İşlemler ve İşlem Önceliği

Birden fazla işlem basamağının bulunduğu sorularda takip edilecek sıra:

1. Üslü ifadeler

2. Parantez içi işlemleri

3. Çarpma veya bölme (soldan sağa öncelik)

4. Toplama veya çıkarma (soldan sağa öncelik)

5. Ana kesir çizgisi içeren işlemlerde, pay ve paydadaki işlemler ayrı ayrı tamamlandıktan sonra bölme işlemi yapılır.

8. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Çok Adımlı Merdivenli Kesir İşlemi

Aşağıda verilen işlemin sonucunu bulunuz:

Çözümü:

1. Pay kısmını hesaplayalım:

   $$2 – \frac{1}{3} = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$

2. Paydadaki en alt basamaktan başlayalım:

   $$1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

3. Paydadaki bölmeyi yapalım:

   $$\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$$

4. Paydanın tamamını toplayalım:

   $$1 + 2 = 3$$

5. Ana bölme işlemini tamamlayalım:

   $$\frac{\frac{5}{3}}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}$$

Soru 2: Kuvvet ve İşlem Önceliği Karma Sorusu

Aşağıda verilen işlemin sonucunu bulunuz:

Çözümü:

1. Üslü ifadelerin değerlerini bulalım:

   • $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$

   • $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = +\frac{4}{9}$

2. Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:

   $$\frac{3}{4} – 1 = \frac{3}{4} – \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$$

3. Bölme işlemini uygulayalım:

   $$\left(-\frac{1}{8}\right) \div \left(-\frac{1}{4}\right) = \left(-\frac{1}{8}\right) \cdot \left(-\frac{4}{1}\right) = +\frac{4}{8} = +\frac{1}{2}$$

4. Son olarak toplama işlemini payda eşitleyerek yapalım:

   $$\frac{1}{2} + \frac{4}{9} = \frac{9}{18} + \frac{8}{18} = \frac{17}{18}$$

Soru 3: Kumaş Kesme ve Kalan Parça Problemi

Terzi Fatma Hanım, $18\frac{3}{4}$ metre uzunluğundaki bir kumaşın önce $\frac{2}{5}$‘sini satmış, ardından kalan kumaşı her biri $\frac{3}{8}$ metre uzunluğunda olan eş parçalara bölerek masa örtüsü yapmıştır.

Buna göre Fatma Hanım kaç adet masa örtüsü elde etmiştir?

Çözümü:

1. Kumaşın uzunluğunu bileşik kesre çevirelim:

   $$18\frac{3}{4} = \frac{18 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{75}{4}\text{ metre}$$

2. Kumaşın $\frac{2}{5}$‘si satıldıysa, geriye $1 – \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$‘ü kalmıştır:

   $$\text{Kalan Kumaş} = \frac{75}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{45}{4}\text{ metre}$$

3. Kalan kumaş $\frac{3}{8}$ metrelik parçalara bölünecektir:

   $$\text{Parça Sayısı} = \frac{45}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{45}{4} \cdot \frac{8}{3}$$

   Sadeleştirmeleri yapalım:

   $$\frac{45 \div 3}{4 \div 4} \cdot \frac{8 \div 4}{3 \div 3} = \frac{15}{1} \cdot \frac{2}{1} = 30\text{ adet}$$

Soru 4: Su Deposu ve Dolum Problemi

Kapasitesi $480\text{ litre}$ olan bir deponun içinde bir miktar su vardır. Depoya içindeki suyun $\frac{1}{3}$‘i kadar daha su ilave edildiğinde deponun $\frac{5}{8}$‘i dolmuş olmaktadır.

Buna göre başlangıçta depoda kaç litre su bulunmaktaydı?

Çözümü:

1. Deponun $\frac{5}{8}$‘inin kaç litre olduğunu hesaplayalım:

   $$480 \cdot \frac{5}{8} = \frac{480}{8} \cdot 5 = 60 \cdot 5 = 300\text{ litre}$$

2. Başlangıçtaki su miktarını $1$ tam (yani $\frac{3}{3}$) olarak düşünelim. Kendisinin $\frac{1}{3}$‘i kadar su eklenirse:

   $$\text{Son Su Miktarı} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\text{ kat olur.}$$

3. Başlangıçtaki suyun $\frac{4}{3}$‘ü $300\text{ litre}$ye denk gelmektedir:

   $$\text{Başlangıçtaki Su} = 300 \div \frac{4}{3} = 300 \cdot \frac{3}{4} = 75 \cdot 3 = 225\text{ litre}$$

Soru 5: Tel Kesme ve Orta Nokta Kayması Problemi

Uzunluğu $5\frac{1}{3}\text{ metre}$ olan düz bir telin bir ucundan telin $\frac{1}{8}$‘i, diğer ucundan ise telin $\frac{1}{4}$‘i kesilip atılıyor.

Buna göre telin orta noktası ilk duruma göre kaç santimetre yer değiştirir?

Çözümü:

1. Telin toplam uzunluğunu santimetreye çevirelim:

   $$5\frac{1}{3}\text{ m} = \frac{16}{3}\text{ metre}$$
   $$1\text{ m} = 100\text{ cm} \implies \frac{16}{3} \cdot 100 = \frac{1600}{3}\text{ cm}$$

2. Uçlardan kesilen miktarları hesaplayalım:

   • Birinci uçtan kesilen: $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{200}{3}\text{ cm}$

   • İkinci uçtan kesilen: $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{400}{3}\text{ cm}$

3. Bir telin iki ucundan farklı miktarlar kesildiğinde, telin orta noktası uçlardan kesilen miktarların farkının yarısı kadar yer değiştirir:

   $$\text{Kesim Farkı} = \frac{400}{3} – \frac{200}{3} = \frac{200}{3}\text{ cm}$$
   $$\text{Orta Noktanın Kayma Miktarı} = \frac{\frac{200}{3}}{2} = \frac{200}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{100}{3}\text{ cm} \quad \left(33\frac{1}{3}\text{ cm}\right)$$