1. Oran Nedir?

Aynı veya farklı türden iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.

• $a$ çokluğunun $b$ çokluğuna oranı şu şekillerde gösterilir ($b \ne 0$):

  $$\frac{a}{b} \quad \text{veya} \quad a : b \quad \text{veya} \quad a / b$$

• Oranda sıralama çok önemlidir. İlk söylenen çokluk paya, ikinci söylenen çokluk paydaya yazılır.

  • “Ahmet’in yaşının Mehmet’in yaşına oranı” denildiğinde paya Ahmet’in, paydaya Mehmet’in yaşı yazılır.

2. Oranın Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi

Bir oran, kesirler gibi uygun bir sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir; bu durum oranın değerini değiştirmez.

• Sadeleştirme: $\frac{12}{18}$ oranı her iki terimi de 6’ya bölünerek en sade hâliyle $\frac{2}{3}$ olarak yazılır.

• Kat İlişkisi ($k$ Yöntemi): İki çokluğun oranı $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ise:

  • $a = 3k$

  • $b = 5k$ kabul edilir ($k$, ortak katı temsil eden pozitif bir katsayıdır).

3. Birimli ve Birimsiz Oran

Karşılaştırılan çoklukların birimlerine göre oran ikiye ayrılır:

• Birimsiz Oran: Aynı türden (aynı birime sahip veya birbirine dönüştürülebilen) çoklukların oranıdır. Birimler sadeleştiği için oranın birimi kalmaz.

  • Örnek: Boy uzunluklarının oranı $\rightarrow \frac{150\text{ cm}}{180\text{ cm}} = \frac{5}{6}$ (Birimsiz)

  • Örnek: Ağırlıkların oranı $\rightarrow \frac{2\text{ kg}}{500\text{ g}} = \frac{2000\text{ g}}{500\text{ g}} = 4$ (Birimsiz)

• Birimli Oran: Farklı türden (birbirine dönüştürülemeyen) iki çokluğun oranıdır. Birimler sadeleşmez, oranın yanında yazılır.

  • Örnek: Alınan yolun geçen süreye oranı (Sürat) $\rightarrow \frac{240\text{ km}}{3\text{ saat}} = 80\text{ km/sa}$ (Birimli)

4. Orandan Bütüne ve Parçaya Geçiş

Bir bütünü oluşturan parçaların oranı verildiğinde, toplam parça sayısı oranların terimleri toplanarak bulunur:

• Bir sınıfta kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı $\frac{3}{4}$ ise:

  • Kız öğrenci sayısı $= 3k$

  • Erkek öğrenci sayısı $= 4k$

  • Tüm sınıf mevcudu $= 3k + 4k = 7k$ olur.

  • Buradan yola çıkarak kızların sınıf mevcuduna oranı $\frac{3k}{7k} = \frac{3}{7}$ bulunur.

5. Çözümlü Sorular

Soru 1: Kat Belirleme ve Toplam Hesaplama

Bir torbadaki mavi bilyelerin sayısının sarı bilyelerin sayısına oranı $\frac{4}{7}$‘dir.

Torbada toplam $55$ adet bilye bulunduğuna göre, sarı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısından kaç fazladır?

Çözümü:

1. Orana göre bilinmeyenleri kat ($k$) cinsinden yazalım:

   • Mavi bilye sayısı $= 4k$

   • Sarı bilye sayısı $= 7k$

2. Toplam bilye sayısı:

   $$4k + 7k = 55 \implies 11k = 55 \implies k = 5$$

3. Bilye sayılarını bulalım:

   • Mavi bilye sayısı $= 4 \cdot 5 = 20$

   • Sarı bilye sayısı $= 7 \cdot 5 = 35$

4. Aralarındaki fark:

   $$35 – 20 = 15\text{ fazladır.}$$

Soru 2: İki Farklı Oranı Birleştirme

Bir çiftlikteki koyunların sayısının ineklerin sayısına oranı $\frac{K}{İ} = \frac{2}{3}$, ineklerin sayısının tavukların sayısına oranı ise $\frac{İ}{T} = \frac{4}{5}$‘tir.

Buna göre, bu çiftlikteki koyunların sayısının tavukların sayısına oranı ($\frac{K}{T}$) kaçtır?

Çözümü:

1. Her iki oranda da ortak olan çokluk ineklerin sayısıdır ($İ$).

2. İlk oranda $İ$‘nin karşısında 3, ikinci oranda ise 4 bulunmaktadır. 3 ve 4’ün en küçük ortak katı 12’dir.

3. Oranları $İ = 12$ olacak şekilde genişletelim:

   $$\frac{K}{İ} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$$
   $$\frac{İ}{T} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$$

4. Artık çoklukları aynı $k$ türünden yazabiliriz:

   • $K = 8k$

   • $İ = 12k$

   • $T = 15k$

5. Koyunların tavuklara oranı:

   $$\frac{K}{T} = \frac{8k}{15k} = \frac{8}{15}$$

Soru 3: Birimli Oran Dönüşümü

Bir araç $360\text{ kilometrelik}$ yolu $4\text{ saatte}$ tamamlamıştır.

Bu aracın aldığı yolun geçen süreye oranını $\text{m/sn}$ (metre/saniye) cinsinden bulunuz.

Çözümü:

1. Önce sürati $\text{km/sa}$ cinsinden bulalım:

   $$\frac{360\text{ km}}{4\text{ sa}} = 90\text{ km/sa}$$

2. Birimleri metre ve saniyeye dönüştürelim:

   • $1\text{ km} = 1000\text{ metre} \implies 90\text{ km} = 90 \cdot 1000 = 90.000\text{ m}$

   • $1\text{ saat} = 60\text{ dakika} = 60 \cdot 60 = 3600\text{ saniye}$

3. Oranı oluşturalım:

   $$\frac{90.000\text{ m}}{3600\text{ sn}} = \frac{900}{36} = 25\text{ m/sn}$$

Soru 4: Parça Eklenmesi Durumunda Değişen Oran

Ayşe’nin yaşının kardeşi Berke’nin yaşına oranı $\frac{5}{3}$‘tür.

4 yıl sonra bu oran $\frac{3}{2}$ olacağına göre, Ayşe bugün kaç yaşındadır?

Çözümü:

1. Bugünkü yaşları kat cinsinden yazalım:

   • Ayşe $= 5k$

   • Berke $= 3k$

2. 4 yıl sonraki yaşları:

   • Ayşe $= 5k + 4$

   • Berke $= 3k + 4$

3. Yeni oranı eşitleyelim:

   $$\frac{5k + 4}{3k + 4} = \frac{3}{2}$$

4. İçler-dışlar çarpımı yapalım:

   $$2 \cdot (5k + 4) = 3 \cdot (3k + 4)$$
   $$10k + 8 = 9k + 12$$
   $$10k – 9k = 12 – 8 \implies k = 4$$

5. Ayşe’nin bugünkü yaşı:

   $$\text{Ayşe} = 5k = 5 \cdot 4 = 20\text{ yaşındadır.}$$

Soru 5: Karışım Oranı Problemi

Bir boya ustası, mavi ve sarı boyaları $\frac{\text{Mavi}}{\text{Sarı}} = \frac{3}{5}$ oranında karıştırarak yeşil boya elde etmektedir.

Ustanın elinde $18\text{ kg}$ mavi boya ve yeteri kadar sarı boya olduğuna göre, elde edilen yeşil boyanın toplam ağırlığı kaç kilogramdır?

Çözümü:

1. Oran bağıntısı:

   $$\frac{\text{Mavi}}{\text{Sarı}} = \frac{3}{5}$$

2. Mavi boya miktarı $18\text{ kg}$ olduğuna göre genişletme katsayısını bulalım:

   $$18 \div 3 = 6\text{ kat}$$

3. Kullanılması gereken sarı boya miktarı:

   $$\text{Sarı} = 5 \cdot 6 = 30\text{ kg}$$

4. Elde edilen toplam yeşil boya:

   $$\text{Toplam} = \text{Mavi} + \text{Sarı} = 18 + 30 = 48\text{ kg}$$