1. Denk Oran Nedir?

Farklı sayılarla ifade edilmelerine rağmen sadeleştirildiklerinde veya genişletildiklerinde aynı değeri (aynı sadeleşmiş biçimi) gösteren oranlara denk oranlar denir.

• Bir oranın pay ve paydası sıfırdan farklı aynı pozitif tam sayı ile çarpılırsa (genişletilirse) veya bölünürse (sadeleştirilirse) oranın belirttiği büyüklük değişmez; elde edilen yeni oran ilk orana denk olur.

• İki oranın denkliği matematiksel olarak eşittir ($=$) sembolü ile gösterilir:

  $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

• Birbirine denk olan iki oranın eşitliğine aynı zamanda orantı adı verilir.

2. İki Oranın Denk Olup Olmadığını Belirleme Yöntemleri

Verilen iki oranın birbirine denk olup olmadığını anlamak için üç pratik yöntem kullanılır:

Yöntem 1: En Sade Hâle Getirme (Sadeleştirme)

Her iki oran da pay ve paydası aralarında asal olana kadar sadeleştirilir. Çıkan en sade kesirler birbirine eşitse oranlar denktir.

• $\frac{12}{16}$ ile $\frac{15}{20}$ oranlarını inceleyelim:

  • $\frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$

  • $\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$

  • En sade hâlleri eşit çıktığı için bu iki oran denktir ($\frac{12}{16} = \frac{15}{20}$).

Yöntem 2: Genişleterek Ortak Paydada Buluşturma

Oranların paydaları ortak bir katta eşitlenir. Paydalar eşitlendiğinde paylar da eşit oluyorsa oranlar denktir.

Yöntem 3: Çapraz Çarpım (İçler – Dışlar Çarpımı)

İki oranın denk olabilmesi için çapraz terimlerin çarpımları birbirine eşit olmalıdır:

• Çarpım sonuçları birbirine eşit çıkıyorsa oranlar kesinlikle denktir; eşit çıkmıyorsa oranlar denk değildir.

3. Denk Oranlarda Bilinmeyeni Bulma

Denk iki orandan birinde bilinmeyen bir terim olduğunda, çapraz çarpım yapılarak basit bir birinci dereceden denklem çözülür:

4. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Sadeleştirme Yoluyla Denklik İnceleme

Aşağıda verilen oran çiftlerinden hangilerinin birbirine denk olduğunu, hangilerinin denk olmadığını en sade hâllerini bularak belirleyiniz:

a) $\frac{18}{24}$ ile $\frac{27}{36}$

b) $\frac{14}{35}$ ile $\frac{16}{40}$

c) $\frac{20}{25}$ ile $\frac{24}{32}$

Çözümü:

• a)

  • $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

  • $\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$

  • En sade hâlleri eşit olduğundan $\frac{18}{24} = \frac{27}{36}$ $\rightarrow$ DENKTİR.

• b)

  • $\frac{14 \div 7}{35 \div 7} = \frac{2}{5}$

  • $\frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$

  • En sade hâlleri eşit olduğundan $\frac{14}{35} = \frac{16}{40}$ $\rightarrow$ DENKTİR.

• c)

  • $\frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$

  • $\frac{24 \div 8}{32 \div 8} = \frac{3}{4}$

  • $\frac{4}{5} \ne \frac{3}{4}$ olduğundan bu oranlar DENK DEĞİLDİR.

Soru 2: Çapraz Çarpım ile Bilinmeyen Bulma

Yukarıdaki iki oranın birbirine denk olduğu bilindiğine göre, $x$ değeri kaçtır?

Çözümü:

1. İşi kolaylaştırmak için önce sağdaki oranı sadeleştirelim (her iki terimi 7’ye bölelim):

   $$\frac{10 \div 7}{35 \div 7} \rightarrow \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$$

2. Yeni denklik:

   $$\frac{3x – 1}{14} = \frac{2}{7}$$

3. Çapraz çarpım uygulayalım:

   $$7 \cdot (3x – 1) = 14 \cdot 2$$
   $$21x – 7 = 28$$
   $$21x = 28 + 7$$
   $$21x = 35 \implies x = \frac{35}{21}$$

4. Kesri 7 ile sadeleştirelim:

   $$x = \frac{5}{3}$$

Soru 3: Tarif ve Denk Oran Problemi

Bir limonata tarifinde limon suyu miktarının su miktarına oranı $\frac{3}{8}$ olarak belirlenmiştir.

Aynı lezzette limonata hazırlamak isteyen bir kafe işletmecisi $24\text{ litre}$ su kullandığına göre, bu su ile denk oranda bir karışım elde etmek için kaç litre limon suyu eklemelidir?

Çözümü:

1. Karışımın lezzetinin aynı kalması, limon suyunun suya oranının ilk tarife denk olması anlamına gelir:

   $$\frac{\text{Limon Suyu}}{\text{Su}} = \frac{3}{8} = \frac{x}{24}$$

2. Kat ilişkisiyle çözelim:

   Paydadaki su miktarı $8$‘den $24$‘e çıkmış, yani $3\text{ kat}$ artmıştır ($24 \div 8 = 3$).

3. Oranın denkliğini korumak için pay da aynı oranda (3 kat) genişletilmelidir:

   $$x = 3 \cdot 3 = 9\text{ litre limon suyu kullanılmalıdır.}$$

Soru 4: Geometride Benzerlik ve Denk Kenar Oranları

Boyutları $12\text{ cm} \times 18\text{ cm}$ olan bir dikdörtgen fotoğraf, eni ile boyu arasındaki oran bozulmadan (denk oran korunarak) büyütülecektir.

Büyütülen yeni fotoğrafın kısa kenarı $30\text{ cm}$ olduğuna göre, uzun kenarı kaç santimetre olur?

Çözümü:

1. İlk fotoğrafın kısa kenarının uzun kenarına oranı:

   $$\text{Oran} = \frac{12}{18}$$

2. Yeni fotoğrafın kenar oranının buna denk olması gerekir:

   $$\frac{12}{18} = \frac{30}{y} \quad (y: \text{yeni uzun kenar})$$

3. İlk oranı sadeleştirelim (6 ile bölelim):

   $$\frac{2}{3} = \frac{30}{y}$$

4. Çapraz çarpım yapalım:

   $$2 \cdot y = 3 \cdot 30$$
   $$2y = 90 \implies y = 45\text{ cm}$$

Soru 5: İki Çokluğun Denk Oran Tablosu

Aşağıdaki tabloda $A$ ve $B$ çoklukları arasında denk bir oran bulunmaktadır:

Buna göre $m + k – n$ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü:

1. Temel Oranı Belirleme:

   İlk sütundaki denk oran:

   $$\frac{A}{B} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

   Tablodaki her sütunun oranı $\frac{3}{5}$‘e eşit olmalıdır.

2. $m$ Değerini Bulma:

   $$\frac{15}{m} = \frac{3}{5} \implies 3m = 75 \implies m = 25$$

3. $k$ Değerini Bulma:

   $$\frac{k}{35} = \frac{3}{5} \implies 5k = 3 \cdot 35 \implies 5k = 105 \implies k = 21$$

4. $n$ Değerini Bulma:

   $$\frac{24}{n} = \frac{3}{5} \implies 3n = 24 \cdot 5 \implies 3n = 120 \implies n = 40$$

5. İstenen İşlem:

   $$m + k – n = 25 + 21 – 40 = 46 – 40 = 6$$