1. Temel Kavramlar

İçinde en az bir bilinmeyen (değişken) ve en az bir işlem bulunan ifadelere cebirsel ifade denir.

• Değişken (Bilinmeyen): Sayısal değeri kesin olarak bilinmeyen, harfler veya sembollerle gösterilen ifadelerdir ($x, y, a, b$ vb.).

• Terim: Bir cebirsel ifadede toplama ($+$) veya çıkarma ($-$) işaretleriyle birbirinden ayrılan parçaların her birine terim denir. Terimler önlerindeki işaretlerle birlikte alınır.

• Katsayı: Bir terimde değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayısal değerdir. Önünde görünür bir sayı olmayan değişkenlerin katsayısı gizli $1$ veya $-1$‘dir ($x = 1x$, $-x = -1x$).

• Sabit Terim: Yanında hiçbir değişken bulunmayan, sadece sayıdan oluşan terimdir. Sabit terim aynı zamanda bir katsayı olarak kabul edilir.

• Benzer Terim: Değişkenleri ve bu değişkenlerin kuvvetleri (üsleri) birebir aynı olan terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir.

  • $3x$ ile $-7x$ $\rightarrow$ Benzer terimdir.

  • $5a^2$ ile $2a^2$ $\rightarrow$ Benzer terimdir.

  • $4x$ ile $4y$ $\rightarrow$ Benzer terim değildir (değişkenler farklı).

  • $2x$ ile $2x^2$ $\rightarrow$ Benzer terim değildir (üsler farklı).

2. Cebirsel İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemi

Cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yalnızca benzer terimler arasında yapılır. Benzer olmayan terimler toplanıp çıkarılamaz; aynen korunur.

Toplama İşlemi:

Benzer terimlerin katsayıları tam sayılarda toplama kuralına göre toplanır, ortak değişken sonucun yanına aynen yazılır. Sabit terimler kendi aralarında toplanır.

Çıkarma İşlemi:

İki cebirsel ifade çıkarılırken, çıkan ifadenin (parantezin) önündeki eksi ($-$) işareti parantezin içindeki bütün terimlerin işaretini tersine çevirerek parantezi kaldırır. Ardından benzer terimler toplanır.

3. Bir Doğal Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma

Bir doğal sayı parantez içindeki bir cebirsel ifade ile çarpılırken çarpmanın toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği uygulanır. Dıştaki katsayı parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır.

• $4 \cdot (2x – 5) = 4 \cdot 2x – 4 \cdot 5 = 8x – 20$

• $-3 \cdot (4x + 7) = -12x – 21$

4. Cebirsel İfadeleri Modelleme (Cebir Karoları)

Cebirsel ifadeler geometrik karolar yardımıyla somutlaştırılır:

• $+x$ Karosu: Kenarları $1$ ve $x$ olan dikdörtgen (Alanı $= x$).

• $-x$ Karosu: Kenarları $1$ ve $x$ olan zıt işaretli dikdörtgen.

• $+1$ Karosu: Kenarları $1$ ve $1$ olan birim kare (Alanı $= 1$).

• $-1$ Karosu: Kenarları $1$ ve $1$ olan zıt işaretli birim kare.

• Bir adet $+x$ ile bir adet $-x$ veya bir adet $+1$ ile bir adet $-1$ bir araya geldiğinde sıfır çifti oluşturarak birbirini yok eder.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Terim, Katsayı ve Sabit Terim Analizi

ifadesi veriliyor.

a) Bu ifadenin en sade hâlini bulunuz.

b) En sade hâlin terim sayısını, katsayılar toplamını ve sabit terimini belirleyiniz.

Çözümü:

1. Benzer Terimleri Gruplayalım:

   • $x$‘li terimler: $5x + 4x = 9x$

   • $y$‘li terimler: $-3y + 2y = -1y = -y$

   • Sabit terimler: $-8 – 1 = -9$

2. En Sade Hâl:

   $$9x – y – 9$$

3. Özellikler:

   • Terim Sayısı: $3$ terim vardır ($9x$, $-y$, $-9$).

   • Katsayılar: $9$, $-1$ ve $-9$.

   • Katsayılar Toplamı: $9 + (-1) + (-9) = -1$

   • Sabit Terim: $-9$

Soru 2: Çıkarma İşlemi ve Parantez Dağılımı

işleminin sonucunu en sade biçimde bulunuz.

Çözümü:

1. İkinci parantezin başındaki eksi işaretini içeriye dağıtalım:

   $$-(3a – 8b – 4) = -3a + 8b + 4$$

2. Tüm ifadeyi bir arada yazalım:

   $$7a – 5b + 12 – 3a + 8b + 4$$

3. Benzer terimleri birleştirelim:

   • $a$‘lı terimler: $7a – 3a = 4a$

   • $b$‘li terimler: $-5b + 8b = +3b$

   • Sabit terimler: $12 + 4 = +16$

4. Sonuç:

   $$4a + 3b + 16$$

Soru 3: Dağılma Özelliği ve İşlem Önceliği

ifadesinin en sade hâlini bulunuz.

Çözümü:

1. Çarpma işlemlerini parantezlerin içine dağıtalım:

   • $3 \cdot (4x – 2) = 12x – 6$

   • $-2 \cdot (5x – 7) = -10x + 14$

2. Elde edilen terimleri birleştirelim:

   $$12x – 6 – 10x + 14$$

3. Benzer terimleri toplayalım:

   $$(12x – 10x) + (-6 + 14) = 2x + 8$$

Soru 4: Geometrik Şekil Üzerinde Çevre Hesabı

Bir dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu $(2x – 3)\text{ cm}$, uzun kenar uzunluğu ise $(3x + 5)\text{ cm}$‘dir.

Buna göre bu dikdörtgenin çevre uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve $x = 6$ için çevrenin kaç santimetre olduğunu hesaplayınız.

Çözümü:

1. Çevre Bağıntısı:

   $$\text{Çevre} = 2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar})$$

2. Kenarları toplayalım:

   $$(2x – 3) + (3x + 5) = (2x + 3x) + (-3 + 5) = 5x + 2$$

3. $2$ katsayısını dağıtalım:

   $$\text{Çevre} = 2 \cdot (5x + 2) = 10x + 4\text{ cm}$$

4. $x = 6$ Değeri İçin Hesaplama:

   $$\text{Çevre} = 10(6) + 4 = 60 + 4 = 64\text{ cm}$$

Soru 5: Gerçek Yaşam Problemi

Bir taksinin açılış ücreti $(3x + 4)\text{ TL}$, kilometre başına aldığı ücret ise $(x – 1)\text{ TL}$‘dir.

Bu taksiyle $8\text{ kilometre}$ yol giden bir yolcunun ödeyeceği toplam tutarı gösteren cebirsel ifadeyi en sade biçimde yazınız.

Çözümü:

1. Maliyet Denklemi:

   $$\text{Toplam Ücret} = \text{Açılış Ücreti} + (8 \cdot \text{Kilometre Ücreti})$$

2. İfadeleri yerine koyalım:

   $$\text{Toplam Ücret} = (3x + 4) + 8 \cdot (x – 1)$$

3. Çarpma işlemini dağıtalım:

   $$8 \cdot (x – 1) = 8x – 8$$

4. İfadeleri toplayalım:

   $$\text{Toplam Ücret} = 3x + 4 + 8x – 8$$

5. Benzer terimleri düzenleyelim:

   $$(3x + 8x) + (4 – 8) = 11x – 4\text{ TL}$$