1. Ayrık Olaylar (Ayrık Olay)

Aynı örnek uzayda tanımlı iki olayın aynı anda gerçekleşmesi imkânsızsa, yani bu iki olayın hiçbir ortak çıktısı (elemanı) yoksa bu olaylara ayrık olaylar denir.

• $A$ ve $B$ olaylarının kesişim kümesi boştur:

  $$A \cap B = \emptyset$$

• Ortak eleman bulunmadığından kesişimin eleman sayısı sıfırdır ($s(A \cap B) = 0$).

• Olasılık Kuralı (“veya” bağlacı): Ayrık $A$ ve $B$ olaylarından en az birinin (yani $A$ veya $B$‘nin) gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Günlük Yaşam ve Deney Örnekleri:

• Hilesiz bir zar atıldığında gelen sayının “tek sayı” veya “çift sayı” olması (Bir sayı aynı anda hem tek hem çift olamaz).

• Bir madenî para atıldığında paranın “yazı” veya “tura” gelmesi.

• 52’lik bir iskambil destesinden çekilen bir kartın “kupa” veya “maça” olması.

2. Ayrık Olmayan Olaylar

Aynı örnek uzayda tanımlı iki olayın aynı anda gerçekleşme ihtimali varsa, yani bu iki olayın en az bir tane ortak çıktısı (kesişimi) bulunuyorsa bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir.

• $A$ ve $B$ olaylarının kesişim kümesi boş kümeden farklıdır:

  $$A \cap B \ne \emptyset$$

• Olasılık Kuralı (“veya” bağlacı): Ayrık olmayan iki olayın “veya” ile birleşiminin olasılığı hesaplanırken, her iki kümede de bulunan ortak elemanlar iki kez sayılmasın diye kesişim kümesinin olasılığı bir defa çıkarılır:

  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

Günlük Yaşam ve Deney Örnekleri:

• Hilesiz bir zar atıldığında gelen sayının “çift sayı” veya “asal sayı” olması (Çünkü $2$ sayısı hem çift hem asaldır; ortak çıktıdır).

• Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin “gözlüklü” veya “kız öğrenci” olması (Hem gözlüklü hem kız olan öğrenciler ortak çıktıyı oluşturur).

• Bir iskambil destesinden çekilen bir kartın “as” veya “kupa” olması (Kupa ası her iki duruma da uyar).

3. Ayrık Olaylar ile Tümleyen Olay İlişkisi

• Bir $A$ olayı ile onun tümleyeni olan $A’$ olayı (olayın gerçekleşmeme durumu) daima ayrık olaylardır ($A \cap A’ = \emptyset$).

• Ayrık olayların birleşimi örnek uzayın tamamına eşit olmak zorunda değildir; ancak bir olay ile tümleyeninin birleşimi daima örnek uzayın tamamını ($E$) verir:

  $$P(A \cup A’) = P(A) + P(A’) = 1$$

4. Karşılaştırma Tablosu

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Ayrık / Ayrık Olmayan Olayları Belirleme

Aşağıdaki olay çiftlerinin ayrık olay mı yoksa ayrık olmayan olay mı olduğunu gerekçeleriyle belirtiniz:

a) Bir zar atıldığında gelen sayının “3’ten küçük bir sayı” olması ile “5’ten büyük bir sayı” olması.

b) Bir zar atıldığında gelen sayının “tek sayı” olması ile “asal sayı” olması.

c) Bir torbadaki mavi ve kırmızı bilyelerden çekilen tek bir bilyenin “mavi” veya “kırmızı” olması.

Çözümü:

• a) $3$‘ten küçük sayılar: $\{1, 2\}$, $5$‘ten büyük sayılar: $\{6\}$. İki kümenin ortak hiçbir elemanı yoktur ($\{1, 2\} \cap \{6\} = \emptyset$). Bu nedenle bu iki olay AYRIK OLAYLARDIR.

• b) Tek sayılar: $\{1, 3, 5\}$, asal sayılar: $\{2, 3, 5\}$. Ortak elemanlar vardır: $\{3, 5\}$. Bu elemanlar aynı anda gerçekleşebileceği için bu iki olay AYRIK OLMAYAN OLAYLARDIR.

• c) Çekilen tek bir bilye aynı anda hem tamamen mavi hem tamamen kırmızı olamaz. Ortak çıktı bulunmadığından bu iki olay AYRIK OLAYLARDIR.

Soru 2: Ayrık Olaylarda “Veya” Olasılığı

Bir sınıftaki öğrencilerin panoya astığı resim yarışması için hazırlanan bir torbada 8 manzara, 7 portre ve 5 soyut resim bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir resim seçiliyor.

Seçilen resmin manzara veya soyut resim olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Olayların Durumu: Bir resim aynı anda hem manzara hem soyut resim kategorisinde bulunmadığı için bu olaylar ayrık olaylardır.

2. Toplam Çıktı Sayısı ($s(E)$):

   $$s(E) = 8 + 7 + 5 = 20$$

3. Ayrı Olasılıklar:

   • Manzara resmi olma olasılığı: $P(M) = \frac{8}{20}$

   • Soyut resim olma olasılığı: $P(S) = \frac{5}{20}$

4. Birleşim Olasılığı:

   $$P(M \cup S) = P(M) + P(S) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}$$

Soru 3: Ayrık Olmayan Olaylarda Formül Uygulaması

Hilesiz bir tavla zarı düz bir zemine atılıyor.

Zarın üst yüzüne gelen sayının çift sayı veya 3’ten büyük bir sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzay:

   $$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies s(E) = 6$$

2. Olay Kümeleri:

   • Çift sayılar kümesi ($Ç$): $\{2, 4, 6\} \implies s(Ç) = 3$

   • 3’ten büyük sayılar kümesi ($B$): $\{4, 5, 6\} \implies s(B) = 3$

3. Kesişim Kümesi (Ortak Çıktılar):

   Hem çift hem 3’ten büyük sayılar:

   $$Ç \cap B = \{4, 6\} \implies s(Ç \cap B) = 2$$

   Kesişim kümesi boş olmadığından bu olaylar ayrık olmayan olaylardır.

4. Olasılık Hesabı:

   $$P(Ç \cup B) = P(Ç) + P(B) – P(Ç \cap B)$$
   $$P(Ç \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Soru 4: Sayı Kartları ve Bölünebilme Kuralı

Üzerinde 1’den 30’a kadar (1 ve 30 dâhil) doğal sayıların yazılı olduğu 30 özdeş kart bir kutuya atılıyor. Kutudan rastgele bir kart çekiliyor.

Çekilen karttaki sayının 4’ün katı veya 6’nın katı olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzay: $s(E) = 30$.

2. 4’ün Katı Olan Sayılar ($A$):

   $$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\} \implies s(A) = 7 \implies P(A) = \frac{7}{30}$$

3. 6’nın Katı Olan Sayılar ($B$):

   $$B = \{6, 12, 18, 24, 30\} \implies s(B) = 5 \implies P(B) = \frac{5}{30}$$

4. Ortak Çıktılar ($A \cap B$):

   Hem 4’e hem 6’ya bölünen sayılar EKOK(4, 6) = 12’nin katlarıdır:

   $$A \cap B = \{12, 24\} \implies s(A \cap B) = 2 \implies P(A \cap B) = \frac{2}{30}$$

5. Birleşim Olasılığı:

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{7}{30} + \frac{5}{30} – \frac{2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$

Soru 5: Sınıf Tablosu Üzerinden Olasılık Hesabı

Bir sınıftaki öğrencilerin cinsiyet ve yabancı dil kulübü tercihleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek öğrenci veya Almanca kulübündeki bir öğrenci olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Toplam Öğrenci Sayısı ($s(E)$): $28$

2. Olayların Tanımlanması:

   • Erkek öğrenci olma olayı ($E$): $s(E_{\text{r}}) = 12$

   • Almanca kulübünde olma olayı ($A$): $s(A) = 10$

3. Ortak Durum (Kesişim):

   Hem erkek hem Almanca kulübünde olan öğrenciler:

   $$s(E_{\text{r}} \cap A) = 4$$

   Olaylar ayrık değildir.

4. Olasılık Hesabı:

   $$P(E_{\text{r}} \cup A) = P(E_{\text{r}}) + P(A) – P(E_{\text{r}} \cap A)$$
   $$P(E_{\text{r}} \cup A) = \frac{12}{28} + \frac{10}{28} – \frac{4}{28} = \frac{18}{28}$$

5. Kesri 2 ile sadeleştirelim:

   $$P(E_{\text{r}} \cup A) = \frac{9}{14}$$