🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Üstel Referans Fonksiyonun Tanımı

$a \in \mathbb{R}^+ – \{1\}$ olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel referans fonksiyon denir. Buradaki $a$ sabit gerçek sayısına fonksiyonun tabanı denir.

• Taban Şartı: $a > 0$ ve $a \ne 1$ olmalıdır.

  • $a \le 0$ olduğunda çift dereceli köklü üslerde (örneğin $(-2)^{1/2}$) gerçek sayı tanımı bozulur.

  • $a = 1$ olduğunda $f(x) = 1^x = 1$ olup sabit fonksiyona dönüşür, üstel artış/azalış karakteri göstermez.

• Euler Sayısı ($e$): Doğal büyüme ve radyoaktif bozunma süreçlerinde sıkça kullanılan $e \approx 2{,}7182$ irrasyonel sayısı ile kurulan $f(x) = e^x$ fonksiyonu, tabanı $e > 1$ olan özel bir üstel referans fonksiyondur.

2. Referans Fonksiyonun Nitel Özellikleri

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \; f(x) = a^x$ fonksiyonu için:

• Tanım Kümesi: $\mathbb{R}$ (Tüm gerçek sayılar)

• Görüntü Kümesi: $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ (Daima pozitif değerler alır)

• $y$ Eksenini Kestiği Nokta: $x = 0$ için $f(0) = a^0 = 1$ olduğundan grafik daima $(0, 1)$ noktasından geçer.

• Sıfırları: Hiçbir gerçek $x$ değeri için $a^x = 0$ olamayacağından fonksiyonun sıfırı yoktur; grafik $x$ eksenini kesmez ($x$ ekseni yatay asimptottur).

• İşareti: Tanımlı olduğu tüm aralıkta daima pozitiftir ($+$).

• Bire Birlik ve Örtenlik: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ tanımlı iken bire bir ve örtendir. (Bu sayede tersi alınabilir ve logaritma fonksiyonu elde edilir).

• Teklik / Çiftlik: Ne tek ne de çift fonksiyondur.

• Ekstremum Değerleri: $\mathbb{R}$ üzerinde maksimum veya minimum noktası yoktur.

• Artanlık ve Azalanlık Durumu:

  • $a > 1$ ise: Fonksiyon daima artandır. ($x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}$)

  • $0 < a < 1$ ise: Fonksiyon daima azalandır. ($x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2}$)

3. Üstel Referans Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonlar

biçimindeki dönüşümlerle türetilen fonksiyonların nitel özellikleri:

• Tanım Kümesi: $\mathbb{R}$ dir.

• Görüntü Kümesi ve Asimptot ($s$):

  • $k > 0$ ise görüntü kümesi $(s, \infty)$ dur.

  • $k < 0$ ise görüntü kümesi $(-\infty, s)$ dir.

  • $y = s$ doğrusu grafiğin yatay asimptotudur.

• Grafik Dönüşüm Adımları:

  1. $x$ ekseni boyunca yatay öteleme: $r$ birim sola veya sağa.

  2. Yatay sıkıştırma / germe: $\vert{}m\vert{}$ katsayısına bağlı olarak.

  3. Dikey germe / yansıma: $k$ ile çarpılarak.

  4. Dikey öteleme: $y$ ekseni boyunca $s$ birim yukarı veya aşağı.

• Türetilmiş Fonksiyonlarda Artanlık / Azalanlık Tablosu:

II. BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

fonksiyonunun bir üstel referans fonksiyon belirtmesi için $m$ tam sayısının alabileceği en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

A) 9

B) 11

C) 13

D) 15

E) 17

Çözüm 1

Bir fonksiyonun üstel referans fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif ve $1$‘den farklı olması gerekir:

1. Taban pozitif olmalıdır:

   $$3m – 12 > 0 \implies 3m > 12 \implies m > 4$$

2. Taban 1’e eşit olmamalıdır:

   $$3m – 12 \ne 1 \implies 3m \ne 13 \implies m \ne \frac{13}{3} \quad (\approx 4{,}33)$$

   $m > 4$ şartını sağlayan en küçük tam sayılar sırasıyla $5, 6, 7, \dots$ dir.

   Bu tam sayıların hiçbiri $\frac{13}{3}$ değerine eşit değildir.

   En küçük iki farklı tam sayı değeri $5$ ve $6$ olur.

   Toplamları:

   $$5 + 6 = 11$$

   bulunur.

   Doğru Seçenek: B

Soru 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonu azalan bir üstel referans fonksiyondur.

Buna göre $a$ gerçek sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\left(\frac{7}{2}, \infty\right)$

B) $\left(0, \frac{7}{2}\right)$

C) $\left(\frac{7}{2}, 4\right)$

D) $(4, \infty)$

E) $(3, 4)$

Çözüm 2

Üstel fonksiyonun daima azalan olabilmesi için tabanının $0$ ile $1$ arasında bulunması gerekir ($0 < \text{taban} < 1$):

Eşitsizliğin her tarafına $7$ eklenir:

Her taraf $2$‘ye bölünür:

Buradan $a \in \left(\frac{7}{2}, 4\right)$ aralığı elde edilir.

Doğru Seçenek: C

Soru 3

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonunun sıfırı kaçtır?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Çözüm 3

Bir fonksiyonun sıfırı, $f(x) = 0$ eşitliğini sağlayan $x$ değeridir:

Tabanlar eşit ($2$) olduğundan üsler birbirine eşitlenir:

Fonksiyonun sıfırı $2$ olarak bulunur.

Doğru Seçenek: C

Soru 4

Gerçek sayılarda tanımlı

fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R}$

B) $(0, \infty)$

C) $(4, \infty)$

D) $[4, \infty)$

E) $(-\infty, 4)$

Çözüm 4

$\forall x \in \mathbb{R}$ için tabanı $3 > 0$ olan üstel ifade daima pozitiftir:

Pozitif olan $5$ sayısı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirmez:

Her iki tarafa $4$ eklenir:

Dolayısıyla fonksiyon $4$‘ten büyük tüm gerçek sayı değerlerini alabilir. Görüntü kümesi açık aralık olarak $(4, \infty)$ biçiminde elde edilir.

Doğru Seçenek: C

Soru 5

biçiminde tanım kümesi sınırlandırılmış fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değer ile en küçük (minimum) değerin çarpımı kaçtır?

A) $\frac{1}{4}$

B) $\frac{1}{2}$

C) 1

D) 2

E) 4

Çözüm 5

Taban $0 < \frac{1}{2} < 1$ olduğundan $f(x)$ azalan bir fonksiyondur.

• Fonksiyon en küçük $x$ değerinde en büyük (maksimum) değerini alır:

  $$\text{Maksimum Değer} = f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$$

• Fonksiyon en büyük $x$ değerinde en küçük (minimum) değerini alır:

  $$\text{Minimum Değer} = f(3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

  Maksimum ve minimum değerlerin çarpımı:

  $$4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

  olarak bulunur.

  Doğru Seçenek: B