1. Temel Kavramlar

Olasılık, rastgele bir durum veya deney sonucunda karşılaşılabilecek ihtimallerin matematiksel ve sayısal olarak ifade edilmesidir.

• Deney: Sonucunun ne olacağı önceden kesin olarak bilinmeyen, belirli kurallar altında tekrarlanabilen eylemlerdir (Örn: Bir zarın havaya atılması, torbadan rastgele bir bilye çekilmesi).

• Çıktı: Bir deney sonucunda elde edilebilecek sonuçların her birine çıktı denir. Hilesiz bir zar atıldığında $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ çıktılardır.

• Örnek Uzay ($E$): Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası çıktıların oluşturduğu kümeye denir. Eleman sayısı $s(E)$ ile gösterilir.

• Olay: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine, yani gerçekleşmesini incelediğimiz özel duruma olay denir (Örn: Zar atıldığında gelen sayının “asal sayı olması” olayı: $\{2, 3, 5\}$).

2. Teorik Olasılık Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

Herhangi bir fiziksel deney veya deneme yapmaya gerek duymadan; matematiksel kurallar, mantık ve formüller kullanılarak hesaplanan kesin olasılık değerine teorik olasılık denir.

Bir deneydeki tüm olası çıktıların gerçekleşme şansı birbirine eşitse (eş olasılıklı durumlar):

• Olasılık Değer Aralığı: Bir olayın gerçekleşme olasılığı daima $0$ ile $1$ arasında (0 ve 1 dâhil) bir reel sayıdır:

  $$0 \le P(A) \le 1$$

• İmkânsız Olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaydır. Olasılık değeri $0$‘dır (Örn: Standart bir zar atıldığında $8$ gelmesi).

• Kesin Olay: Gerçekleşmesi yüzde yüz kesin olan olaydır. Olasılık değeri $1$‘dir (Örn: Havaya atılan bir zarın $7$‘den küçük doğal sayı gelmesi).

3. Tümleyen Olay ve Olasılıklar Toplamı

Bir olayın gerçekleşmeme durumunu ifade eden olaya o olayın tümleyeni denir ve genellikle $A’$ veya $\overline{A}$ ile gösterilir.

• Bir olay ile bu olayın gerçekleşmeme durumu (tümleyeni) birbirini örnek uzaya tamamlar.

• Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı daima 1‘e eşittir:

  $$P(A) + P(A’) = 1 \implies P(A’) = 1 – P(A)$$

4. Teorik Olasılık ile Deneysel Olasılık Arasındaki İlişki

• Deneysel Olasılık: Deneyin bizzat tekrarlanmasıyla elde edilen göreli sıklığa dayanır ($\frac{\text{Gerçekleşme Sayısı}}{\text{Toplam Deneme Sayısı}}$).

• Büyük Sayılar Yasası: Yapılan deneme sayısı azken deneysel olasılık ile teorik olasılık arasında farklar görülebilir. Ancak deney sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine giderek yaklaşır.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Zar Deneyinde Asal Sayı Olasılığı

Hilesiz bir tavla zarı düz bir zemine rastgele atılıyor.

Zarın üst yüzüne gelen sayının bir asal sayı olma olasılığı teorik olarak kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzay ($E$): Zarda bulunan tüm olası çıktılar:

   $$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies s(E) = 6$$

2. İstenen Olay ($A$): Asal sayılar kümesi:

   $$A = \{2, 3, 5\} \implies s(A) = 3$$

3. Teorik Olasılık:

   $$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Soru 2: Torbadan Bilye Çekme ve Tümleyen Olay

Bir torbada aynı büyüklükte $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ sarı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor.

Çekilen bilyenin kırmızı olmama olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Toplam Çıktı Sayısı ($s(E)$):

   $$s(E) = 5 + 4 + 3 = 12\text{ bilye}$$

2. 1. Yöntem (Doğrudan Hesap):

   Kırmızı olmayan bilyeler mavi veya sarıdır:

   $$4 + 3 = 7\text{ bilye} \implies P(\text{Kırmızı Değil}) = \frac{7}{12}$$

3. 2. Yöntem (Tümleyen Kuralı):

   • Kırmızı gelme olasılığı: $P(K) = \frac{5}{12}$

   • Kırmızı gelmeme olasılığı:

     $$P(K’) = 1 – P(K) = 1 – \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$$

Soru 3: İki Madenî Paranın Havaya Atılması

İki hilesiz madenî para aynı anda düz bir zemine atılıyor.

Paraların en az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzayı Belirleyelim:

   Paraların alabileceği tüm eş durumlar:

   $$E = \{(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)\} \implies s(E) = 4$$

2. İstenen Olay ($A$): “En az bir tura”, 1 tura veya 2 tura gelmesi demektir:

   $$A = \{(Y, T), (T, Y), (T, T)\} \implies s(A) = 3$$

3. Teorik Olasılık:

   $$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{4}$$

   (Tümleyen yoluyla kontrol: Hiç tura gelmeme durumu $(Y, Y)$ olup olasılığı $\frac{1}{4}$‘tür. En az bir tura gelme olasılığı: $1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$).

Soru 4: Sayı Kartlarından Çift ve 4’ten Büyük Sayı Seçme

Üzerinde $1$‘den $20$‘ye kadar (1 ve 20 dâhil) doğal sayıların yazılı olduğu 20 özdeş kart bir kutuya konuluyor. Kutudan rastgele bir kart çekiliyor.

Çekilen karttaki sayının hem çift hem de 12’den büyük olma olasılığı kaçtır?

Çözümü:

1. Örnek Uzay:

   $$E = \{1, 2, 3, \dots, 20\} \implies s(E) = 20$$

2. İstenen Koşulu Sağlayan Çıktılar ($A$):

   Sayı 12’den büyük ve çift olmalıdır:

   $$A = \{14, 16, 18, 20\} \implies s(A) = 4$$

3. Teorik Olasılık:

   $$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$

Soru 5: Deneysel ve Teorik Olasılık Farkı

Bir madenî para $50\text{ kez}$ havaya atılmış ve bu atışların $32$‘sinde tura, $18$‘inde yazı gelmiştir.

Buna göre:

a) Tura gelme olayının deneysel olasılığı kaçtır?

b) Tura gelme olayının teorik olasılığı kaçtır?

c) Deneysel olasılık değeri teorik olasılık değerinden kaç fazladır?

Çözümü:

1. Deneysel Olasılık:

   $$\text{Deneysel Olasılık} = \frac{\text{Tura Sayısı}}{\text{Toplam Deneme}} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = 0,64$$

2. Teorik Olasılık:

   Hilesiz bir madenî paranın iki yüzü vardır $\{Y, T\}$:

   $$\text{Teorik Olasılık} = \frac{1}{2} = \frac{25}{50} = 0,50$$

3. Fark Hesabı:

   $$\frac{32}{50} – \frac{25}{50} = \frac{7}{50} = 0,14\text{ fazladır.}$$