1. Tam Sayılarla Toplama İşlemi

Tam sayılarda toplama işlemi, toplanan sayıların işaret durumlarına göre iki temel kurala ayrılır:

Kural 1: Aynı İşaretli Tam Sayıların Toplanması

• Toplanan sayıların ikisi de pozitif veya ikisi de negatif ise sayıların mutlak değerleri toplanır.

• Elde edilen toplamın önüne sayıların ortak işareti yazılır.

  • $(+11) + (+8) = +19$

  • $(-20) + (-7) = -27$

  • (Günlük hayat mantığı: 20 TL borç ile 7 TL borç birleşirse toplam 27 TL borç yani $-27$ olur).

Kural 2: Farklı (Zıt) İşaretli Tam Sayıların Toplanması

• Biri pozitif diğeri negatif iki tam sayı toplanırken sayıların mutlak değerlerine bakılır.

• Mutlak değeri büyük olan sayıdan, mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır.

• Farkın önüne mutlak değeri büyük olan sayının işareti verilir.

  • $(-15) + (+6) = -9$ (Çünkü $\vert{}-15\vert{} = 15$, $\vert{}+6\vert{} = 6$; $15 – 6 = 9$ olur, büyüğün işareti eksi olduğundan $-9$ yazılır).

  • $(-12) + (+16) = +4$ (Çünkü $\vert{}+16\vert{} > \vert{}-12\vert{}$; $16 – 12 = 4$ ve işaret $+$‘dır).

2. Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi

Temel İlke: Tam sayılarda çıkarma işlemi, eksilen sayı ile çıkan sayının toplama işlemine göre tersinin (zıt işaretlisinin) toplanmasıdır.

Yani çıkarma işlemi her zaman toplama işlemine dönüştürülerek yapılır:

$$a – b = a + (-b)$$

• Örnekler:

  • $(+10) – (-8) = (+10) + (+8) = +18$

  • $(-12) – (+5) = (-12) + (-5) = -17$

  • $4 – (-5) = 4 + (+5) = 9$

  • $6 – 9 = 6 + (-9) = -3$

DİKKAT: Çıkan sayı pozitif olduğunda bazen başına $+$ yazılmaz. Örneğin $-4 – 5$ ifadesindeki ortadaki eksi çıkarma işlemini belirtir; yani bu ifade $(-4) – (+5)$ demektir ve sonucu $(-4) + (-5) = -9$‘dur.

3. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma ve bölme işlemlerinde işaret belirleme kuralları birbirinin tamamen aynısıdır:

• Sıfır ile İşlemler:

  • Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü daima sıfırdır ($0 \div (-15) = 0$).

  • Bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır.

• Çoklu Çarpmalarda Pratik İşaret Kuralı: Negatif çarpanların sayısı tek ise çarpım negatif, çift ise çarpım pozitiftir.

4. Tam Sayıların Kuvvetleri (Üslü Nicelikler)

Bir tam sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına üslü ifade denir:

• Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.

• Negatif tam sayıların:

  • Çift kuvvetleri pozitiftir: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$

  • Tek kuvvetleri negatiftir: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

HAYATİ UYARI (Parantezin Önemi):

• $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$ (Kuvvet parantezin dışındadır, işareti de kapsar).

• $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ (Kuvvet sadece 3’e aittir, eksiye etki etmez).

5. Problem Çözme Stratejileri ve Gerçek Yaşam Modelleri

Problemler çözülürken şu modellerden yararlanılır:

1. Sıcaklık ve Yükselti Değişimi: Yükseğe çıkıldıkça sıcaklığın düşmesi (azalma $\rightarrow$ çıkarma veya negatif ekleme), derine inildikçe sıcaklığın veya basıncın değişimi.

2. Saat Dilimleri (UTC Modeli): Başlangıç meridyeni $UTC = 0$ kabul edilir. İleri saatler $+$, geri saatler $-$ ile gösterilir; iki şehir arasındaki yerel saat farkı çıkarma işlemi ile bulunur.

3. Banka/Bütçe ve Kalori Takibi: Gelir ve kazanımlar $+$, gider/borç ve harcanan kalori $-$ ile modellenir.

6. Tamamı Çözümlü 5 Özgün Soru

Soru 1: (İşlem Önceliği, Mutlak Değer ve Üslü İfadeler)

Aşağıda verilen işlemin sonucunu bulunuz:

Çözümü:

1. Üslü ifadeleri ve mutlak değeri hesaplayalım:

   • $(-4)^2 = +16$ (Çift kuvvet pozitiftir)

   • $\vert{}-18\vert{} = 18$

   • $(-2)^3 = -8$ (Tek kuvvet negatiftir)

   • $(-1)^5 = -1$

2. İfadeyi tekrar yazalım:

   $$16 – 18 \div (-3) + (-8) \cdot (-1)$$

3. Öncelikli çarpma ve bölmeleri yapalım:

   • $18 \div (-3) = -6$

   • $(-8) \cdot (-1) = +8$ (Aynı işaretlilerin çarpımı pozitif)

4. Çıkarma ve toplamayı uygulayalım:

   $$16 – (-6) + 8$$

   Çıkarma toplamaya dönüşür: $16 + (+6) + 8 = 22 + 8 = 30$.

Soru 2: (UTC ve Saat Dilimi Problemi)

İstanbul ($UTC+3$) saat dilimindedir.

• New York şehri $UTC-5$ saat dilimindedir.

• Tokyo şehri $UTC+9$ saat dilimindedir.

İstanbul’da yaşayan Selim Bey, New York’taki iş ortağıyla New York yerel saatine göre 14.00‘te başlayacak bir çevrim içi toplantı yapacaktır.

Toplantı bittikten 2 saat sonra ise Tokyo’daki arkadaşını arayacaktır. Toplantı 1,5 saat sürdüğüne göre, Selim Bey arkadaşını aradığında Tokyo’da yerel saat kaçtır?

Çözümü:

1. Şehirler Arası Saat Farklarını Bulalım:

   • İstanbul ile New York farkı: $(+3) – (-5) = 3 + 5 = 8\text{ saat}$ (İstanbul 8 saat ileridedir).

   • New York saatine göre toplantı $14.00$‘te başlıyorsa, İstanbul’da saat:

     $$14.00 + 08.00 = 22.00$$

2. Toplantı Bitişini ve Arama Zamanını Belirleyelim:

   • Toplantı süresi: $1\text{ saat } 30\text{ dakika}$

   • Toplantı bitişi (İstanbul saatiyle): $22.00 + 01.30 = 23.30$

   • 2 saat sonra arandığına göre, arama anı (İstanbul saatiyle): $23.30 + 02.00 = 01.30$ (Ertesi gün)

3. Tokyo Saatini Hesaplayalım:

   • Tokyo ($UTC+9$) ile İstanbul ($UTC+3$) farkı: $(+9) – (+3) = +6\text{ saat}$ (Tokyo 6 saat ileridedir).

   • Arama anında Tokyo saati:

     $$01.30 + 06.00 = 07.30\text{ (Sabah)}$$

Soru 3: (Dağcı ve Yükselti-Sıcaklık Değişimi Problemi)

Deniz seviyesinden yukarı çıkıldıkça her $200\text{ metre}$de hava sıcaklığı $1^\circ\text{C}$ azalmaktadır.

• Bir araştırma ekibi, deniz seviyesinden $600\text{ metre}$ yükseklikteki A noktasında hava sıcaklığını $+4^\circ\text{C}$ olarak ölçmüştür.

• Ekip dağın zirvesine doğru tırmanışa geçmiş ve sıcaklığın $-7^\circ\text{C}$ olduğu B noktasına ulaşmıştır.

Buna göre, B noktasının deniz seviyesinden yüksekliği kaç metredir?

Çözümü:

1. İki Nokta Arasındaki Sıcaklık Değişimini Bulalım:

   • İlk sıcaklık: $+4^\circ\text{C}$

   • Son sıcaklık: $-7^\circ\text{C}$

   • Sıcaklık farkı: $(+4) – (-7) = 4 + 7 = 11^\circ\text{C}$ azalmıştır.

2. Kat Edilen Dikey Mesafeyi Hesaplayalım:

   • Her $1^\circ\text{C}$ düşüş için $200\text{ m}$ çıkılması gerekir:

     $$11 \cdot 200 = 2200\text{ metre tırmanılmıştır.}$$

3. B Noktasının Toplam Yüksekliği:

   • A noktası zaten $600\text{ m}$ yükseklikteydi:

     $$600 + 2200 = 2800\text{ metre}$$

Soru 4: (Derin Dondurucu ve Zaman-Sıcaklık Örüntüsü)

Başlangıç sıcaklığı $+18^\circ\text{C}$ olan bir gıda maddesi sanayi tipi bir derin dondurucuya yerleştiriliyor.

• Dondurucudaki gıdanın sıcaklığı her $6\text{ dakikada}$ düzenli olarak $2^\circ\text{C}$ düşmektedir.

• Dondurucu, içindeki ürünlerin sıcaklığı en fazla $-26^\circ\text{C}$‘ye indiğinde soğutmayı durdurmaktadır.

Buna göre, bu gıda maddesi dondurucuya konulduktan kaç saat sonra dondurucu soğutmayı durdurur?

Çözümü:

1. Toplam Gerçekleşmesi Gereken Sıcaklık Değişimi:

   • İlk sıcaklık: $+18^\circ\text{C}$

   • Hedef sıcaklık: $-26^\circ\text{C}$

   • Toplam düşüş: $(+18) – (-26) = 18 + 26 = 44^\circ\text{C}$

2. Sıcaklığın Kaç Kez Azalacağını Bulalım:

   • Sıcaklık her adımda $2^\circ\text{C}$ düşmektedir:

     $$44 \div 2 = 22\text{ kez sıcaklık azalması gerçekleşmelidir.}$$

3. Toplam Geçen Süreyi Hesaplayalım:

   • Her azalma $6\text{ dakika}$ sürdüğüne göre:

     $$22 \cdot 6 = 132\text{ dakika}$$

4. Dakikayı Saate Çevirelim:

   • $132\text{ dakika} = 120\text{ dakika} + 12\text{ dakika} = 2\text{ saat } 12\text{ dakika}$ (veya $2,2\text{ saat}$)

Soru 5: (Banka Kartı, Borç ve Bakiye Problemi)

Öğrenci kartına her ayın başında ailesi tarafından burs yüklenen Mert’in kartında para bitse dahi eksi bakiyeye (borca) geçebilme özelliği vardır.

• Ay başında kartında hiç para ve borç bulunmayan Mert’e 800 TL yüklenmiştir.

• Mert, kartından her biri 95 TL olan 6 adet kitap satın almıştır.

• Ardından spor kulübü aidatı için tek seferde 420 TL çekim yapılmıştır.

• Ay sonunda Mert’in hesabındaki açığı kapatmak isteyen ablası hesaba 150 TL para transfer etmiştir.

Buna göre, son durumda Mert’in kartındaki bakiye durumu tam sayılarla nasıl ifade edilir?

Çözümü:

1. Yapılan Harcamaları Tam Sayılarla İfade Edelim:

   • 6 adet kitap harcaması: $6 \cdot (-95) = -570\text{ TL}$

   • Kulüp aidatı çekimi: $-420\text{ TL}$

   • Toplam harcama: $(-570) + (-420) = -990\text{ TL}$

2. Gelen Yüklemeleri ve Yatırılan Paraları Toplayalım:

   • İlk bakiye: $+800\text{ TL}$

   • Ablanın transferi: $+150\text{ TL}$

   • Toplam artı bakiye: $(+800) + (+150) = +950\text{ TL}$

3. Son Durumdaki Bakiye Hesabı:

   $$\text{Son Bakiye} = (+950) + (-990)$$

   Mutlak değeri büyük olan $990$‘dan $950$ çıkarılır ve büyüğün işareti verilir:

   $$990 – 950 = 40 \implies -40\text{ TL}$$

Cevap: Mert’in son durumdaki kart bakiyesi $-40\text{ TL}$‘dir (yani 40 TL borçtadır).