🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Logaritmik Referans Fonksiyonun Tanımı ve Şartları

$a \in \mathbb{R}^+ – \{1\}$ olmak üzere, üstel referans fonksiyonun tersi olan

biçiminde tanımlanan fonksiyona logaritmik referans fonksiyon denir.

• Tanımlı Olma Şartları: Bir $\log_g(x) h(x)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için üç kural aynı anda sağlanmalıdır:

  1. $h(x) > 0$ (Logaritması alınan sayı kesinlikle pozitif olmalıdır)

  2. $g(x) > 0$ (Taban kesinlikle pozitif olmalıdır)

  3. $g(x) \ne 1$ (Taban $1$‘e eşit olamaz)

• Özel Tabanlar:

  • Onluk (Bayağı) Logaritma: Tabanı $10$ olan logaritmadır, $\log_{10} x = \log x$ şeklinde yazılır.

  • Doğal Logaritma: Tabanı Euler sayısı ($e \approx 2{,}7182$) olan logaritmadır, $\log_e x = \ln x$ şeklinde yazılır.

2. Referans Fonksiyonun Nitel Özellikleri

$f(x) = \log_a x$ fonksiyonu için:

• Tanım Kümesi: $\mathbb{R}^+ = (0, \infty)$ dur.

• Görüntü Kümesi: $\mathbb{R}$ (Tüm gerçek sayılar kümesidir).

• $x$ Eksenini Kestiği Nokta (Sıfırı): $\log_a 1 = 0$ olduğundan grafik daima $(1, 0)$ noktasından geçer; yani fonksiyonun sıfırı $x = 1$‘dir.

• $y$ Eksenini Kesme Durumu: $x > 0$ olmak zorunda olduğundan grafik $y$ eksenini kesmez ($x = 0$ doğrusu düşey asimptottur).

• Bire Birlik ve Örtenlik: $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ tanımlı iken bire bir ve örtendir.

• Teklik / Çiftlik: Ne tek ne de çift fonksiyondur.

• Maksimum ve Minimum Noktası: Görüntü kümesi $\mathbb{R}$ olduğundan en büyük veya en küçük değeri yoktur.

• Artanlık ve Azalanlık Durumu:

  • $a > 1$ ise: Fonksiyon artandır. $(0, 1)$ aralığında negatif ($-$), $(1, \infty)$ aralığında pozitif ($+$) değerler alır.

  • $0 < a < 1$ ise: Fonksiyon azalandır. $(0, 1)$ aralığında pozitif ($+$), $(1, \infty)$ aralığında negatif ($-$) değerler alır.

3. Logaritmanın Temel İşlem Özellikleri

$\forall a, b, c \in \mathbb{R}^+ – \{1\}$ ve $x, y \in \mathbb{R}^+$ için:

• $\log_a a = 1$ ve $\log_a 1 = 0$

• Çarpımın Logaritması: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

• Bölümün Logaritması: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y$

• Kuvvet Kuralı: $\log_{a^m} (x^n) = \frac{n}{m} \cdot \log_a x$

• Taban Değiştirme Kuralı: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}$

• Taban ile İfadenin Yer Değiştirmesi: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

• Üstel Logaritma Sadeleşmesi: $a^{\log_a b} = b$ ve $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

4. Türetilmiş Logaritmik Fonksiyonlar

biçimindeki dönüşümlerde:

• Tanım Kümesi: $mx + r > 0$ eşitsizliğinin çözümüdür. ($m > 0$ ise $\left(-\frac{r}{m}, \infty\right)$ aralığıdır).

• $x = -\frac{r}{m}$ doğrusu grafiğin düşey asimptotudur.

• $g(x)$ in görüntü kümesi daima $\mathbb{R}$ dir.

II. BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 6)$

B) $(6, \infty)$

C) $(0, 6)$

D) $[6, \infty)$

E) $\mathbb{R} – \{6\}$

Çözüm 1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir:

Dolayısıyla fonksiyonun en geniş tanım kümesi $(-\infty, 6)$ açık aralığıdır.

Doğru Seçenek: A

Soru 2

fonksiyonunu tanımlı yapan kaç farklı $x$ tam sayısı vardır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Çözüm 2

Logaritma tanım kuralları üç aşamada incelenir:

1. Logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır:

   $$7 – x > 0 \implies x < 7$$

2. Taban pozitif olmalıdır:

   $$x – 2 > 0 \implies x > 2$$

3. Taban $1$‘e eşit olamaz:

   $$x – 2 \ne 1 \implies x \ne 3$$

   Bu şartlar birleştirildiğinde:

   $$2 < x < 7 \quad \text{ve} \quad x \ne 3$$

   Aralıktaki tam sayılar: $4, 5, 6$ dır.

   Fonksiyonu tanımlı yapan 3 farklı tam sayı değeri vardır.

   Doğru Seçenek: B

Soru 3

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonunun sıfırı kaçtır?

A) $\frac{49}{16}$

B) $\frac{17}{4}$

C) $\frac{19}{2}$

D) 19

E) 35

Çözüm 3

Fonksiyonun sıfırı, $f(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değeridir:

Logaritma üstel biçime dönüştürülür:

bulunur.

Doğru Seçenek: A

Soru 4

işleminin sonucu kaçtır?

A) 2

B) $\frac{5}{2}$

C) 3

D) $\frac{7}{2}$

E) 4

Çözüm 4

1. Logaritma farkı kuralı uygulanır ($\log_a x – \log_a y = \log_a(x/y)$):

   $$\log_2 24 – \log_2 3 = \log_2\left(\frac{24}{3}\right) = \log_2 8$$
   $$\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 \cdot \log_2 2 = 3$$

2. İkinci terim kuvvet kuralıyla düzenlenir ($\sqrt{5} = 5^{1/2}$):

   $$\log_5 \sqrt{5} = \log_5 (5^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_5 5 = \frac{1}{2}$$

3. İki değer toplanır:

   $$3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$

   Doğru Seçenek: D

Soru 5

fonksiyonu ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi $(0, \infty)$ dur.

B) Daima azalan bir fonksiyondur.

C) Grafiği $(1, 0)$ noktasından geçer.

D) $(0, 1)$ aralığında negatif değerler alır.

E) Bire bir fonksiyondur.

Çözüm 5

• $f(x) = \log_a x$ fonksiyonunda taban $a = \frac{1}{3}$ olup $0 < a < 1$ aralığındadır.

• Taban $0$ ile $1$ arasında olduğunda fonksiyon azalandır.

• Azalan bir logaritmik fonksiyonda:

  • $x \in (0, 1)$ iken fonksiyon değerleri pozitiftir ($+$). (Örneğin $x = \frac{1}{9}$ için $\log_{1/3}(1/9) = 2 > 0$).

  • $x \in (1, \infty)$ iken fonksiyon değerleri negatiftir ($-$).

Dolayısıyla D seçeneğinde yer alan “$(0, 1)$ aralığında negatif değerler alır” ifadesi yanlıştır.

Doğru Seçenek: D