Asal Sayılar

Asal Sayı Tanımı: Birbirinden farklı sadece iki tane doğal sayı çarpanı (böleni) olan sayma sayılarına asal sayı denir. Başka bir ifadeyle, $1$ ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısına tam bölünemeyen $1$‘den büyük sayma sayılarına asal sayı denir.

Örnek: $23$‘ün doğal sayı çarpanları sadece $1$ ve $23$‘tür.

Önemli Notlar

1. İki Çarpan Kuralı: Asal sayıların daima iki tane doğal sayı çarpanı vardır. Bu çarpanlardan biri her zaman $1$, diğeri ise sayının kendisidir.
2. En Küçük Asal Sayı: Sadece iki farklı doğal sayı çarpanı olan en küçük doğal sayı $2$ olduğundan, en küçük asal sayı da $2$‘dir.
3. Tek Çift Asal Sayı: $2$‘den başka çift asal sayı yoktur. Çünkü $2$‘den büyük her çift sayı mecburen $1$, $2$ ve kendisi olmak üzere en az üç çarpanı olur.
4. $1$ Asal Değildir: $1$ sayısının sadece bir tane çarpanı ($1$) olduğu için asal sayı olarak kabul edilmez.

Pratik Kural (İki Basamaklı Sayılar İçin): İki basamaklı bir doğal sayı $2$, $3$, $5$ ve $7$ ile kalansız bölünemiyorsa, o sayı büyük ihtimalle asal sayıdır. (Asal sayı testinde kontrol edilen temel küçük asal sayılardır.)

Asal Sayılar Çözümlü Test Soruları

1. Soru Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?

A) 51 B) 57 C) 59 D) 63

Çözüm: Asal sayı, $1$ ve kendisinden başka böleni olmayan sayıdır. A) $51$: $5+1=6$ olduğu için 3’e bölünür. ($51=3\times 17$) $\to$ Asal değil. B) $57$: $5+7=12$ olduğu için 3’e bölünür. ($57=3\times 19$) $\to$ Asal değil. C) $59$: Sadece $1$ ve $59$‘a bölünür. $2,3,5,7$ gibi küçük asal sayılara bölünemez. $\to$ Asal sayıdır. D) $63$: $6+3=9$ olduğu için 3 ve 9’a bölünür. ($63=7\times 9$) $\to$ Asal değil.

Doğru Cevap: C

---

2. Soru İki basamaklı en küçük asal sayı ile üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

A) 111 B) 113 C) 103 D) 112

Çözüm:

• İki basamaklı sayılar $10$‘dan başlar. $10$ ve $11$‘i kontrol edelim. $10$ çift olduğu için asal değildir. İki basamaklı en küçük asal sayı $11$‘dir.
• Üç basamaklı en küçük doğal sayı $100$‘dür. Bu iki sayının toplamı: $11+100=111$‘dir.

Doğru Cevap: A

---

3. Soru Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) En küçük asal sayı $2$‘dir. B) $1$‘den $10$‘a kadar $(10$ dahil) dört tane asal sayı vardır. C) İki asal sayının toplamı her zaman çift sayıdır. D) Tek çift asal sayı $2$‘dir.

Çözüm: A) En küçük asal sayı $2$‘dir. $\to$ Doğru. B) $1$‘den $10$‘a kadar olan asal sayılar $2,3,5,7$‘dir. Toplam dört tanedir. $\to$ Doğru. C) İki asal sayının toplamı: Örneğin $2$ (asal) $+3$ (asal) $=5$ (tek sayıdır). $\to$ Yanlış. D) $2$‘den başka çift asal sayı yoktur. $\to$ Doğru.

Doğru Cevap: C

---

4. Soru $20$‘den büyük, $40$‘tan küçük kaç tane asal sayı vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Çözüm: $20$ ile $40$ arasındaki sayıları kontrol edelim: $21$ (3’e bölünür), $22$ (2’ye bölünür), 23 (Asal), $24$ (2’ye bölünür), $25$ (5’e bölünür), $26$ (2’ye bölünür), $27$ (3’e bölünür), $28$ (2’ye bölünür), 29 (Asal), $30$ (2, 3, 5’e bölünür), 31 (Asal), $32$ (2’ye bölünür), $33$ (3’e bölünür), $34$ (2’ye bölünür), $35$ (5’e bölünür), $36$ (2’ye bölünür), 37 (Asal), $38$ (2’ye bölünür), $39$ (3’e bölünür). Bu aralıktaki asal sayılar: $23,29,31,37$. Toplam 4 tanedir.

Doğru Cevap: A

---

5. Soru $A$ bir doğal sayı olmak üzere, $A\times B=47$ eşitliğinde $A$ ve $B$ birer tam sayı ise $A+B$ toplamı en az kaçtır?

A) 1 B) 47 C) 48 D) 49

Çözüm: $47$ sayısı bir asal sayıdır. Asal sayıların doğal sayı çarpanları sadece $1$ ve kendisidir. $A\times B=47$ olduğuna göre, $A$ ve $B$ çarpanları sadece şunlar olabilir:

1. $A=1$ ve $B=47$
2. $A=47$ ve $B=1$ Her iki durumda da $A+B$ toplamı aynıdır: $1+47=48$‘dir. $A+B$ toplamının alabileceği tek değer 48’dir ve dolayısıyla en az değeri de 48’dir.

Doğru Cevap: C

---

6. Soru $A$ ve $B$ birer asal sayı olmak üzere, $A+B=10$ ise $A\times B$ çarpımı kaçtır?

A) 9 B) 16 C) 21 D) 24

Çözüm: Toplamı $10$ olan asal sayı çiftlerini bulmalıyız:

• $2+8$ (8 asal değil)
• $3+7$ ($3$ ve $7$ asal sayıdır.)
• $5+5$ ($5$ asal sayıdır.)
• $1+9$ (1 asal değil, 9 asal değil)

Olası asal sayı çiftleri $(3,7)$ ve $(5,5)$‘tir. $A\times B$ çarpımı:

• $3\times 7=21$
• $5\times 5=25$ Seçeneklerde $25$ olmadığı için, doğru çift $(3,7)$ ve çarpım $21$‘dir.

Doğru Cevap: C

---

7. Soru Üç basamaklı $A0B$ sayısı asal bir sayıdır. Buna göre, bu sayının rakamları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Çözüm: Sayının $A0B$ üç basamaklı olması için $A$ en az $1$ olmalıdır. $B$ birler basamağıdır. Asal sayı olması için $B$ çift bir rakam ($0,2,4,6,8$) ve $5$ olamaz. ($2$ hariç. Birler basamağı $2$ olan $102,112,\dots$ gibi sayılar $2$‘ye bölündüğü için asal değildir.) $B$ sadece $1,3,7,9$ olabilir.

Rakamları toplamının ($A+0+B=A+B$) en küçük olmasını istiyoruz. $A$‘yı en küçük alalım: $A=1$.

• $A=1,B=1\to 101$. $101$ asal bir sayıdır. (Rakamlar toplamı: $1+0+1=2$)
• $A=1,B=3\to 103$. $103$ asal bir sayıdır. (Rakamlar toplamı: $1+0+3=4$)
• $A=1,B=7\to 107$. $107$ asal bir sayıdır. (Rakamlar toplamı: $1+0+7=8$)
• $A=1,B=9\to 109$. $109$ asal bir sayıdır. (Rakamlar toplamı: $1+0+9=10$)

Rakamları toplamının alabileceği en küçük değer $2$‘dir. ($101$ sayısı için.)

Doğru Cevap: A