6. Sınıf Matematik : Aralarında Asal Sayılar Testleri (Maarif Modeli Yeni Müfredat)

• 6. Sınıf Aralarında Asal Sayılar Test 1 Çöz

• 6. Sınıf Aralarında Asal Sayılar Test 2 Çöz

• 6. Sınıf Aralarında Asal Sayılar Test 3 Çöz

İki veya daha fazla sayının 1’den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir.

Aralarında Asal Sayıların Temel Özellikleri

• 1 sayısı, her pozitif tam sayı ile aralarında asaldır. (Örnek: 1 ve 10, 1 ve 23)
• Ardışık iki pozitif tam sayı her zaman aralarında asaldır. (Örnek: 7 ve 8, 19 ve 20)
• İki sayının aralarında asal olması için, bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Önemli olan ortak bölenlerinin sadece 1 olmasıdır. (Örnek: 4 ve 9 sayıları asal değildir ama aralarında asaldır.)
• İki asal sayı her zaman aralarında asaldır. (Örnek: 5 ve 11)

Örnekler

8 ve 15:

• 8’in pozitif bölenleri: 1, 2, 4, 8
• 15’in pozitif bölenleri: 1, 3, 5, 15
• Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için 8 ve 15 aralarında asaldır.

6 ve 9:

• 6’nın pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 6
• 9’un pozitif bölenleri: 1, 3, 9
• Ortak bölenleri 1 ve 3 olduğu için 6 ve 9 aralarında asal değildir.

Aralarında Asal Sayılar Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Bir kütüphanede raflar 1’den 10’a kadar numaralandırılmıştır. Kitapları raflara yerleştiren görevli, her rafa sabit sayıda kitap koymakta ve bu sabit kitap sayısının, raf numarası ile aralarında asal olmasını istemektedir. Eğer görevli her rafa 15 kitap koymaya karar verirse, aşağıdaki raf numaralarından hangisine bu kurala uygun olarak kitap yerleştiremez?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 8
Çözüm: İki sayının aralarında asal olması için 1’den başka ortak bölenlerinin (çarpanlarının) olmaması gerekir, yani en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir. Görevli her rafa 15 kitap koyduğuna göre, raf numarası ile 15 sayısının aralarında asal olması gerekmektedir. 15 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 3, 5 ve 15’tir. Bu durumda, raf numarası 3 veya 5’in katı olan bir sayı ise 15 ile aralarında asal olamaz.
Şıkları inceleyelim:
A) 2: \( \text{EBOB}(15, 2) = 1 \). Aralarında asaldır.
B) 4: \( \text{EBOB}(15, 4) = 1 \). Aralarında asaldır.
C) 5: \( \text{EBOB}(15, 5) = 5 \). Aralarında asal değildir, çünkü ortak bölenleri 5’tir.
D) 8: \( \text{EBOB}(15, 8) = 1 \). Aralarında asaldır.
Bu durumda, 5 numaralı rafa kurala uygun olarak kitap yerleştirilemez.
Doğru cevap C’dir.

2. soru: Elif, bir sayı oyunu oynamaktadır. Önce 24 sayısını seçer. Daha sonra 10 ile 20 (10 ve 20 dahil) arasındaki sayılardan birini seçerek, seçtiği bu sayının 24 ile aralarında asal olmasını ister. Elif’in seçeceği ikinci sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 17
Çözüm: 24 sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür (çünkü \( 24 = 2^3 \times 3 \)). Elif’in seçeceği sayının 24 ile aralarında asal olması için, seçtiği sayının asal çarpanları arasında 2 ve 3 bulunmamalıdır. Yani, seçilen sayı 2’ye ve 3’e bölünmemelidir.
Şıkları inceleyelim:
A) 12: 12 sayısı hem 2’ye hem de 3’e bölünür. \( \text{EBOB}(24, 12) = 12 \). Aralarında asal değildir.
B) 14: 14 sayısı 2’ye bölünür. \( \text{EBOB}(24, 14) = 2 \). Aralarında asal değildir.
C) 15: 15 sayısı 3’e bölünür. \( \text{EBOB}(24, 15) = 3 \). Aralarında asal değildir.
D) 17: 17 sayısı asal bir sayıdır ve asal çarpanları sadece 17’dir. 17 sayısı ne 2’ye ne de 3’e bölünür. \( \text{EBOB}(24, 17) = 1 \). Aralarında asaldır.
Doğru cevap D’dir.

3. soru: Ahmet, dolabı için iki basamaklı iki sayıdan oluşan bir güvenlik kodu tasarlamaktadır. Kodun ilk sayısı 36’dır. İkinci sayı ise iki basamaklı, 36 ile aralarında asal ve rakamları birbirinden farklı bir sayı olmalıdır. Buna göre, Ahmet’in kodu için seçebileceği ikinci sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 42
B) 55
C) 63
D) 78
Çözüm: 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür (çünkü \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)). İkinci sayının 36 ile aralarında asal olması için, bu sayının asal çarpanları arasında 2 ve 3 bulunmamalıdır. Yani, seçilen sayı 2’ye ve 3’e bölünmemelidir. Ayrıca, seçilen sayının rakamları birbirinden farklı olmalıdır.
Şıkları inceleyelim:
A) 42: 42 sayısı çift olduğu için 2’ye bölünür. \( \text{EBOB}(36, 42) = 6 \). Aralarında asal değildir.
B) 55: 55 sayısının asal çarpanları 5 ve 11’dir. Ne 2’ye ne de 3’e bölünür. Rakamları (5 ve 5) aynıdır. Düzeltme: Rakamları farklı olmalıydı. Seçenekleri kontrol edelim. Rakamları farklı şartını sağlamıyor. Yeni bir seçenek bulalım veya bu seçeneği değiştirelim. Örneğin, 55 yerine 59 (asal, rakamları farklı) veya 95 (5×19, rakamları farklı). Let’s use 95.
Düzeltilmiş B seçeneği: B) 95
B) 95: 95 sayısının asal çarpanları 5 ve 19’dur. Ne 2’ye ne de 3’e bölünür. Rakamları 9 ve 5 farklıdır. \( \text{EBOB}(36, 95) = 1 \). Aralarında asaldır.
C) 63: 63 sayısı 3’e bölünür (rakamları toplamı 9). \( \text{EBOB}(36, 63) = 9 \). Aralarında asal değildir.
D) 78: 78 sayısı çift olduğu için 2’ye bölünür. \( \text{EBOB}(36, 78) = 6 \). Aralarında asal değildir.
Doğru cevap B’dir.

4. soru: Ayşe, aralarında asal sayılar konusunu pekiştirmek için öğretmeninin verdiği aşağıdaki ifadeleri incelemektedir. Bu ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) İki asal sayı her zaman aralarında asaldır.
B) İki çift sayı aralarında asal olabilir.
C) Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
D) Aralarında asal olan iki sayıdan en az biri asal sayı olmak zorundadır.
Çözüm: İfadeleri tek tek inceleyelim:
A) İki asal sayı her zaman aralarında asaldır. Bu ifade “farklı iki asal sayı” deseydi doğru olurdu. Ancak “iki asal sayı” derken aynı asal sayı da kastedilebilir (örneğin 7 ve 7). \( \text{EBOB}(7, 7) = 7 \) olduğu için aralarında asal değildir. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.
B) İki çift sayı aralarında asal olabilir. İki çift sayının ortak böleni her zaman en az 2’dir. Örneğin, \( \text{EBOB}(4, 6) = 2 \). Aralarında asal olmaları için EBOB’larının 1 olması gerekir. Bu nedenle iki çift sayı asla aralarında asal olamaz. Bu ifade yanlıştır.
C) Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır. Örneğin, 8 ve 9 sayıları ardışıktır ve \( \text{EBOB}(8, 9) = 1 \)’dir. Genel olarak, herhangi bir \( n \) doğal sayısı için \( \text{EBOB}(n, n+1) = 1 \) olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır. Bu ifade her zaman doğrudur.
D) Aralarında asal olan iki sayıdan en az biri asal sayı olmak zorundadır. Bu ifade yanlıştır. Örneğin, 8 ve 9 sayıları aralarında asaldır (\( \text{EBOB}(8, 9) = 1 \)), ancak ne 8 ne de 9 asal sayıdır. Bu ifade yanlıştır.
Doğru cevap C’dir.

5. soru: Bir okulun bahçesinde 1’den 50’ye kadar numaralandırılmış banklar bulunmaktadır. Okul yönetimi, belirli günlerde sadece numarası 20 ile aralarında asal olan banklara oturulmasına izin vermektedir. Buna göre, numarası 30’dan büyük olan banklardan kaç tanesine oturulabilir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Çözüm: 20 sayısının asal çarpanları 2 ve 5’tir (çünkü \( 20 = 2^2 \times 5 \)). Bir bankın numarası 20 ile aralarında asal ise, o bankın numarası ne 2’ye ne de 5’e bölünmelidir. Yani, bank numarası çift olmamalı ve 5’in katı olmamalıdır.
Numarası 30’dan büyük olan banklar 31, 32, …, 50’dir. Bu aralıktaki sayıları inceleyelim ve 2’ye veya 5’e bölünmeyenleri bulalım:
– 31: Asal sayıdır, 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 32: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 33: 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 34: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 35: 5’e bölünür. (Oturulamaz)
– 36: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 37: Asal sayıdır, 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 38: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 39: 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 40: Çift sayıdır ve 5’e bölünür. (Oturulamaz)
– 41: Asal sayıdır, 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 42: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 43: Asal sayıdır, 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 44: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 45: 5’e bölünür. (Oturulamaz)
– 46: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 47: Asal sayıdır, 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 48: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. (Oturulamaz)
– 49: 2’ye veya 5’e bölünmez. (Oturulabilir)
– 50: Çift sayıdır ve 5’e bölünür. (Oturulamaz)
Oturulabilecek bank numaraları: 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49. Toplamda 8 tane banka oturulabilir.
Doğru cevap C’dir.