Analitik inceleme, geometri ve cebir arasında köprü kurarak geometrik şekillerin ve konumların koordinat sistemi üzerinde cebirsel denklemlerle ifade edilmesini sağlar. Bu ünite, düzlemdeki noktaların koordinatlarını, iki nokta arasındaki uzaklığı, bir doğru parçasının orta noktasını ve bir doğrunun eğimini bulmayı içerir. Ayrıca, farklı formlardaki doğru denklemlerini yazma, paralel ve dik doğruların eğim ilişkilerini anlama ve bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını hesaplama gibi temel kavramlar üzerinde durulur. Bu beceriler, geometrik problemleri daha sistematik ve analitik bir yaklaşımla çözmemize olanak tanır ve matematikte derinlemesine bir anlayış geliştirir.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

A(3, 4) ve B(6, 8) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülü: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$d = \sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

A(-2, 5) ve B(4, 3) noktalarının orta noktasının koordinatları nedir?

A) (1, 4)
B) (2, 8)
C) (1, 8)
D) (3, 4)
E) (1, 1)

Çözüm:
Orta nokta koordinatları formülü: $O(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
$O(\frac{-2+4}{2}, \frac{5+3}{2}) = O(\frac{2}{2}, \frac{8}{2}) = O(1, 4)$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 3:

A(1, 2) ve B(4, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) -1
E) 0

Çözüm:
Doğru eğimi formülü: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m = \frac{5-2}{4-1} = \frac{3}{3} = 1$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 4:

Denklemi $3x+2y-6=0$ olan doğrunun eğimi kaçtır?

A) 3/2
B) -3/2
C) 2/3
D) -2/3
E) 6

Çözüm:
Doğru denklemini $y=mx+n$ formuna getirelim:
$2y = -3x+6$
$y = -\frac{3}{2}x+3$.
Burada $m$ eğimdir, yani $m = -3/2$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 5:

A(2, -1) noktasından geçen ve eğimi $m=3$ olan doğrunun denklemi nedir?

A) $y=3x-7$
B) $y=3x+5$
C) $y=3x-1$
D) $y=3x-4$
E) $y=3x-2$

Çözüm:
Nokta-eğim formülü: $y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-(-1) = 3(x-2)$
$y+1 = 3x-6$
$y = 3x-7$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 6:

Eğimi $m_1 = 2$ olan bir doğruya dik olan bir doğrunun eğimi $m_2$ kaçtır?

A) 2
B) -2
C) $1/2$
D) $-1/2$
E) 0

Çözüm:
İki doğru birbirine dikse eğimlerinin çarpımı -1’dir. $m_1 \cdot m_2 = -1$
$2 \cdot m_2 = -1$
$m_2 = -1/2$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 7:

$y=2x+5$ doğrusuna paralel olan ve A(1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

A) $y=2x+1$
B) $y=2x-1$
C) $y=2x+3$
D) $y=2x-5$
E) $y=x+2$

Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri eşittir. Verilen doğrunun eğimi $m=2$’dir. A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulalım:
$y-3 = 2(x-1)$
$y-3 = 2x-2$
$y = 2x+1$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 8:

A(1, 2) noktasının $3x-4y+10=0$ doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Noktanın doğruya uzaklığı formülü: $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
$A=3, B=-4, C=10$ ve $(x_1, y_1) = (1, 2)$
$d = \frac{|3(1)+(-4)(2)+10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|3-8+10|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

Köşeleri A(1, 1), B(4, 1) ve C(4, 5) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 12

Çözüm:
A ve B noktalarının y koordinatları aynı, bu yüzden AB kenarı x eksenine paraleldir. Uzunluğu $|4-1|=3$ birimdir. C noktasının x koordinatı B’ninki ile aynı, bu yüzden BC kenarı y eksenine paraleldir. Uzunluğu $|5-1|=4$ birimdir. Bu bir dik üçgendir ve alanı $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$ formülüyle bulunur. Alan $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 10:

A(1, -2) ve B(5, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k’nin pozitif değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
$d = \sqrt{(5-1)^2 + (k-(-2))^2} = 5$
$d^2 = 4^2 + (k+2)^2 = 25$
$16 + (k+2)^2 = 25$
$(k+2)^2 = 9$
$k+2 = 3$ veya $k+2=-3$.
$k=1$ veya $k=-5$. Pozitif değeri 1’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 11:

Köşeleri A(-1, 0), B(3, 0) ve C(1, h) olan bir üçgenin alanı 6 birimkare ise h’nin pozitif değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
AB kenarı x ekseni üzerindedir ve uzunluğu $|3-(-1)|=4$ birimdir. Üçgenin alanı, taban çarpı yükseklik bölü 2’dir. Yükseklik h’nin mutlak değeridir.
Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$
$6 = \frac{1}{2} \times 4 \times |h|$
$6 = 2|h|$
$|h|=3$. Pozitif değer $h=3$’tür.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 12:

$2x-y+4=0$ doğrusu ile $y=mx+1$ doğrusunun paralel olması için $m$ kaç olmalıdır?

A) -2
B) -1/2
C) 1/2
D) 2
E) 4

Çözüm:
$2x-y+4=0$ doğrusunun eğimini bulalım: $y=2x+4$, yani $m_1=2$.
Paralel doğruların eğimleri eşit olmalıdır, bu yüzden $m=2$’dir.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 13:

A(a, 3) ve B(1, 5) noktalarının orta noktası $C(2, 4)$ ise a kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3

Çözüm:
Orta noktanın x koordinatı: $\frac{a+1}{2} = 2 \Rightarrow a+1=4 \Rightarrow a=3$.
Orta noktanın y koordinatı: $\frac{3+5}{2} = 4$. (Bu da doğru).
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 14:

$A(-3, 0)$ ve $B(0, 4)$ noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir?

A) $4x-3y+12=0$
B) $4x+3y-12=0$
C) $3x-4y+12=0$
D) $3x+4y-12=0$
E) $4x-3y-12=0$

Çözüm:
İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulalım. Eğim: $m=\frac{4-0}{0-(-3)} = \frac{4}{3}$.
Nokta-eğim formülüyle ($A(-3,0)$ noktasını kullanalım): $y-0 = \frac{4}{3}(x-(-3)) \Rightarrow y = \frac{4}{3}(x+3) \Rightarrow 3y = 4x+12 \Rightarrow 4x-3y+12=0$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---