Analitik İnceleme: İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğru Parçasını Bölme

Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat sistemini kullanarak cebirsel ifadelerle inceleyen bir matematik dalıdır. Bu, geometri ve cebiri birleştiren önemli bir konudur.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor Teoremi kullanılır. A(x1, y1) ve B(x2, y2) gibi iki nokta verildiğinde, bu iki nokta arasındaki uzaklık formülü aşağıdaki gibidir:

Uzaklık = kök içinde ((x2 – x1)kare + (y2 – y1)kare)

Örnek 1: A(3, 4) ve B(7, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulun.

Çözüm: Uzaklık = kök içinde ((7 – 3)kare + (7 – 4)kare) Uzaklık = kök içinde ((4)kare + (3)kare) Uzaklık = kök içinde (16 + 9) Uzaklık = kök içinde (25) Uzaklık = 5 birim.

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme

Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen bir noktanın koordinatlarını bulmak, içten veya dıştan bölme olarak ikiye ayrılır.

İçten Bölme: Bir C noktası, A ve B noktalarının arasında yer alır.

Formül: A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarını içten bölen C noktası için, AC / CB = k ise, C’nin koordinatları:

xc = (x1 + kx2) / (1+k) yc = (y1 + ky2) / (1+k)

Örnek 2: A(1, 2) ve B(7, 14) noktalarını içten bölen bir C noktası, AC / CB = 1/2 oranını sağlamaktadır. C noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm: k = 1/2 değerini formüllerde yerine koyarız. xc = (1 + (1/2) x 7) / (1 + 1/2) = (1 + 3.5) / 1.5 = 4.5 / 1.5 = 3 yc = (2 + (1/2) x 14) / (1 + 1/2) = (2 + 7) / 1.5 = 9 / 1.5 = 6 C noktasının koordinatları C(3, 6) olur.

Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Özellikleri ve Analitik İncelenmesi

Doğrunun Eğimi

Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren bir ölçüdür. Genellikle m harfi ile gösterilir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

• Pozitif Eğim: Doğru sağa doğru yükselir.
• Negatif Eğim: Doğru sağa doğru alçalır.
• Eğimi 0: Doğru yataydır, x eksenine paraleldir.
• Tanımsız Eğim: Doğru dikeydir, y eksenine paraleldir.

Örnek 3: A(1, 3) ve B(4, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: m = (9 – 3) / (4 – 1) = 6 / 3 = 2.

Doğru Denklemleri

Bir doğrunun denklemi, o doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatlarını sağlayan bir denklemdir.

• Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi: y – y1 = m(x – x1)
• İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemi: (y – y1) / (y2 – y1) = (x – x1) / (x2 – x1)

Örnek 4: Eğimi 3 olan ve A(2, 5) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm: y – y1 = m(x – x1) formülünü kullanarak: y – 5 = 3(x – 2) y – 5 = 3x – 6 y = 3x – 1.

İki Doğrunun Birbirine Göre Konumları

İki doğrunun eğimleri arasındaki ilişki, onların konumlarını belirler.

• Paralel Doğrular: İki doğru paralel ise eğimleri birbirine eşittir (m1 = m2).
• Dik Kesişen Doğrular: İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı -1’e eşittir (m1 x m2 = -1).

Örnek 5: y = 2x + 1 doğrusuna paralel olan ve A(3, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm: Verilen doğrunun eğimi m = 2’dir. Paralel olacağı için yeni doğrunun eğimi de 2 olmalıdır. y – y1 = m(x – x1) formülünü kullanarak: y – 4 = 2(x – 3) y – 4 = 2x – 6 y = 2x – 2.

Çözümlü Test Soruları

Konuyu pekiştirmek için 5 sorudan oluşan bir test hazırladım.

Soru 1: A(2, 5) ve B(6, 8) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm: İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız. Uzaklık = kök içinde ((6 – 2)kare + (8 – 5)kare) Uzaklık = kök içinde ((4)kare + (3)kare) Uzaklık = kök içinde (16 + 9) Uzaklık = kök içinde (25) Uzaklık = 5. Doğru cevap C’dir.

Soru 2: A(1, 3) ve B(5, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Doğrunun eğim formülünü kullanırız. m = (11 – 3) / (5 – 1) m = 8 / 4 m = 2. Doğru cevap B’dir.

Soru 3: Eğimi -2 olan ve A(4, -1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

A) y = -2x + 7 B) y = -2x + 5 C) y = -2x + 1 D) y = 2x – 9 E) y = 2x + 7

Çözüm: Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklem formülünü kullanırız. y – y1 = m(x – x1) y – (-1) = -2(x – 4) y + 1 = -2x + 8 y = -2x + 7. Doğru cevap A’dır.

Soru 4: A(3, 1) ve B(7, 5) noktalarını içten bölen C noktası, AC / CB = 3/1 oranını sağlamaktadır. C noktasının koordinatları nedir?

A) (4, 2) B) (5, 3) C) (6, 4) D) (6, 2) E) (5, 4)

Çözüm: İçten bölme formülünü kullanırız. k = 3. xc = (3 + 3 x 7) / (1 + 3) = (3 + 21) / 4 = 24 / 4 = 6 yc = (1 + 3 x 5) / (1 + 3) = (1 + 15) / 4 = 16 / 4 = 4 C noktasının koordinatları C(6, 4) olur. Doğru cevap C’dir.

Soru 5: y = 3x – 5 doğrusuna dik olan ve A(6, 2) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) 3 B) -3 C) 1/3 D) -1/3 E) 2

Çözüm: İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı -1’dir. Verilen doğrunun eğimi m1 = 3’tür. 3 x m2 = -1 m2 = -1/3. Doğru cevap D’dir.