7. SINIF MATEMATİK: ALGORİTMAYI YAPILANDIRMA

1. Algoritma Nedir?

Bir problemi çözmek, belirli bir amaca ulaşmak veya bir görevi yerine getirmek için mantıksal bir sıra takip edilerek tasarlanan sonlu adımlar dizisine algoritma denir.

Matematikte algoritmalar; formüllerin ezberlenmesi yerine düşünme becerisinin geliştirilmesini, bir işlemin neden ve hangi sırayla yapıldığının kavranmasını sağlar.

Bir algoritmanın taşıması gereken temel özellikler şunlardır:

• Girdi (Input): Algoritmaya dışarıdan aktarılan veya başlangıçta tanımlanan ham verilerdir.

• Açıklık ve Kesinlik: Her adım yoruma yer bırakmayacak şekilde açık, net ve tek anlamlı olmalıdır.

• Sonluluk: Algoritma sonsuz bir döngüde takılı kalmamalı; belirli sayıda adım sonunda mutlaka tamamlanmalıdır.

• Çıktı (Output): Yapılan işlemlerin sonucunda elde edilen çözümdür.

2. Algoritmaların Temel Yapı Taşları

Matematiksel bir süreci algoritmaya dökerken üç temel mantıksal yapı kullanılır:

1. Sıralı İşlem (Ardışık Yapı): Adımların baştan sona doğru teker teker sırayla işletilmesidir.

2. Karar (Şart / Koşul) Yapısı: Belirli bir durumun sağlanıp sağlanmadığına göre sürecin farklı yönlere ayrılmasıdır (“Eğer … ise 4. adıma git, değilse 6. adıma git”).

3. Döngü (Tekrar) Yapısı: Belli bir koşul gerçekleşene kadar belirli işlem adımlarının tekrar tekrar yinelenmesidir (Örn: Bölme işleminde kalan sıfır olana kadar çıkarma yapılması).

3. Akış Şemalarında Kullanılan Temel Semboller

Algoritmalar metin olarak yazılabileceği gibi şematik olarak da ifade edilir:

• Elips / Yuvarlak Dikdörtgen: Algoritmanın başlangıcını (Başla) ve bitişini (Bitir) belirtir.

• Paralelkenar: Dışarıdan veri girişini (Girdi) ifade eder (Örn: “Bir $x$ sayısı giriniz”).

• Dikdörtgen: Matematiksel hesaplama ve atama işlemlerini gösterir (Örn: $y = 2x + 5$).

• Eşkenar Dörtgen (Baklava Dilimi): Karar ve şart noktalarını gösterir. İçinde mantıksal bir soru yer alır ve buradan “Evet” ile “Hayır” okları çıkar (Örn: “$Kalan = 0$ mı?”).

• Oklar: Algoritmanın akış yönünü gösterir.

4. Matematikte Algoritma Örnekleri

• Öklid Algoritması (EBOB Bulma): İki sayının en büyük ortak bölenini bulurken büyük sayıyı küçük sayıya bölme, ardından kalanı bölen yaparak sıfıra ulaşana kadar adımları tekrar etme sürecidir.

• Asallık Testi Algoritması: Girilen bir sayının $2$‘den başlayarak kareköküne kadar olan sayılara tek tek bölünüp bölünmediğini kontrol eden karar mekanizmasıdır.

• Basamak Değerleri ve Sayı Çözümleme Algoritması: Bir tam sayıyı $10$‘a bölüp kalanları listeleyerek basamaklarına ayırma işlemidir.

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Adım Adım Sayı Algoritması Takibi

Aşağıda bir sayı işleme algoritması verilmiştir:

• 1. Adım: Bir $A$ tam sayısı gir.

• 2. Adım: $A$ sayısının karesini al ve sonuca $B$ de ($B = A^2$).

• 3. Adım: Eğer $B > 50$ ise 4. adıma git; değilse 5. adıma git.

• 4. Adım: $C = B – 15$ işlemini yap ve 6. adıma git.

• 5. Adım: $C = 2 \cdot B + 10$ işlemini yap ve 6. adıma git.

• 6. Adım: $C$ değerini ekrana yaz ve dur.

Bu algoritmaya sırasıyla $A = 6$ ve $A = -8$ girdileri verilirse ekrana yazılacak $C$ değerleri kaç olur?

Çözümü:

1. $A = 6$ Girdisi İçin:

   • 2. Adım: $B = 6^2 = 36$

   • 3. Adım: $36 > 50$ koşulu sağlanmaz (Hayır) $\rightarrow$ 5. adıma gidilir.

   • 5. Adım: $C = 2 \cdot 36 + 10 = 72 + 10 = 82$

   • 6. Adım: Ekrana $82$ yazılır.

2. $A = -8$ Girdisi İçin:

   • 2. Adım: $B = (-8)^2 = 64$

   • 3. Adım: $64 > 50$ koşulu sağlanır (Evet) $\rightarrow$ 4. adıma gidilir.

   • 4. Adım: $C = 64 – 15 = 49$

   • 6. Adım: Ekrana $49$ yazılır.

Soru 2: Döngülü Algoritma ile Toplam Hesabı

Aşağıdaki algoritma bir döngü yapısı içermektedir:

• 1. Adım: $Toplam = 0$, $Sayac = 1$ olarak belirle.

• 2. Adım: $Toplam = Toplam + Sayac$

• 3. Adım: $Sayac = Sayac + 2$

• 4. Adım: Eğer $Sayac \le 9$ ise 2. adıma dön; değilse 5. adıma geç.

• 5. Adım: $Toplam$ değerini ekrana yaz ve bitir.

Bu algoritma tamamlandığında ekrana hangi sayı yazdırılır?

Çözümü:

Adımların döngü boyunca takibini yapalım:

• Başlangıç: $Toplam = 0$, $Sayac = 1$

• 1. Tur:

  • $Toplam = 0 + 1 = 1$

  • $Sayac = 1 + 2 = 3$

  • Koşul: $3 \le 9$ (Evet) $\rightarrow$ 2. adıma dön.

• 2. Tur:

  • $Toplam = 1 + 3 = 4$

  • $Sayac = 3 + 2 = 5$

  • Koşul: $5 \le 9$ (Evet) $\rightarrow$ 2. adıma dön.

• 3. Tur:

  • $Toplam = 4 + 5 = 9$

  • $Sayac = 5 + 2 = 7$

  • Koşul: $7 \le 9$ (Evet) $\rightarrow$ 2. adıma dön.

• 4. Tur:

  • $Toplam = 9 + 7 = 16$

  • $Sayac = 7 + 2 = 9$

  • Koşul: $9 \le 9$ (Evet) $\rightarrow$ 2. adıma dön.

• 5. Tur:

  • $Toplam = 16 + 9 = 25$

  • $Sayac = 9 + 2 = 11$

  • Koşul: $11 \le 9$ (Hayır) $\rightarrow$ 5. adıma geç.

• Çıktı: Algoritma 1’den 9’a kadar olan tek sayıları toplamıştır. Ekrana $25$ yazılır.

Soru 3: İki Sayının EBOB’unu Bulan Algoritma Tasarımı

Pozitif iki tam sayının ($a$ ve $b$) En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) çıkarma yoluyla bulan algoritmanın adımlarını yapılandırınız ve $a = 28$, $b = 12$ sayıları üzerinde test ediniz.

Çözümü:

1. Algoritma Adımları:

   • 1. Adım: $a$ ve $b$ pozitif tam sayılarını oku.

   • 2. Adım: Eğer $a = b$ ise 5. adıma git.

   • 3. Adım: Eğer $a > b$ ise $a = a – b$ yap ve 2. adıma dön.

   • 4. Adım: Eğer $b > a$ ise $b = b – a$ yap ve 2. adıma dön.

   • 5. Adım: $EBOB = a$ yazdır ve işlemi durdur.

2. $a = 28$ ve $b = 12$ İçin Test:

   • $28 \ne 12$ ve $28 > 12 \implies a = 28 – 12 = 16$

   • $16 \ne 12$ ve $16 > 12 \implies a = 16 – 12 = 4$

   • $4 \ne 12$ ve $12 > 4 \implies b = 12 – 4 = 8$

   • $4 \ne 8$ ve $8 > 4 \implies b = 8 – 4 = 4$

   • $a = 4$ ve $b = 4 \implies a = b$ sağlandı.

   • Sonuç: $EBOB(28, 12) = 4$ olarak başarıyla bulunur.

Soru 4: Koşullu İndirim Hesaplama Algoritması

Bir kırtasiye mağazasında uygulanan kampanya şu şekildedir:

• Alışveriş tutarı $300\text{ TL}$ veya daha az ise $\%10$ indirim,

• Alışveriş tutarı $300\text{ TL}$‘den fazla ise $\%20$ indirim yapılmaktadır.

a) Bu sürecin algoritma basamaklarını yazınız.

b) Sepet tutarı $450\text{ TL}$ olan bir müşteri için algoritmanın üreteceği ödenecek tutarı bulunuz.

Çözümü:

1. a) Algoritma:

   • 1. Adım: Sepet tutarını ($T$) gir.

   • 2. Adım: Eğer $T \le 300$ ise 3. adıma git; değilse 4. adıma git.

   • 3. Adım: $\text{Ödenecek} = T – (T \cdot 0,10)$ hesapla ve 5. adıma git.

   • 4. Adım: $\text{Ödenecek} = T – (T \cdot 0,20)$ hesapla ve 5. adıma git.

   • 5. Adım: $\text{Ödenecek}$ tutarını ekrana yazdır ve bitir.

2. b) $T = 450\text{ TL}$ İçin Hesaplama:

   • $450 \le 300$ şartı sağlanmaz; 4. adıma geçilir.

   • İndirim tutarı: $450 \cdot 0,20 = 90\text{ TL}$

   • Ödenecek tutar: $450 – 90 = 360\text{ TL}$

Soru 5: Algoritma Hata Analizi (Sonsuz Döngü)

Bir öğrenci 1’den 10’a kadar olan çift sayıları ekrana yazdırmak için şu algoritmayı tasarlamıştır:

• 1. Adım: $x = 2$

• 2. Adım: $x$ değerini ekrana yazdır.

• 3. Adım: Eğer $x = 10$ ise işlemi bitir.

• 4. Adım: 2. adıma geri dön.

Bu algoritmadaki mantıksal hatayı belirleyiniz ve hatanın giderilmesi için araya hangi adımın eklenmesi gerektiğini açıklayınız.

Çözümü:

1. Hatanın Belirlenmesi:

   Algoritmada $x$ değişkeninin değerini artıran hiçbir işlem adımı yoktur. $x$ başlangıçta $2$‘dir; ekrana 2 yazar, 3. adımda $x = 10$ olmadığı için 4. adıma geçip tekrar 2. adıma döner. $x$ sürekli 2 olarak kalacağından sistem sonsuz döngüye girer ve asla durmaz.

2. Düzeltme:

   Algoritmanın sonlu olabilmesi ve çift sayıları sırayla yazabilmesi için 2. adım ile 3. adım arasına şu adım eklenmelidir:

   $$\text{“Yeni Adım: } x = x + 2\text{“}$$

   Böylece $x$ her turda sırasıyla $2, 4, 6, 8, 10$ değerlerini alacak; $10$‘a ulaştığında 3. adım gereği algoritma başarıyla sonlanacaktır.