1. Temel Alan Bağıntıları Özeti

• Dairenin Alanı: Yarıçapı $r$ olan bir dairenin alanı:

  $$\text{Alan} = \pi \cdot r^2$$

• Daire Diliminin Alanı: Merkez açısı $\alpha$ ve yarıçapı $r$ olan dilimin alanı:

  $$\text{Alan} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \quad \text{veya yay uzunluğu } (\ell) \text{ ile: } \text{Alan} = \frac{\ell \cdot r}{2}$$

• Eşkenar Dörtgenin Alanı:

  • Köşegenlerle: Köşegen uzunlukları $e$ ve $f$ olmak üzere:

    $$\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2}$$

  • Taban ve Yükseklikle: Bir kenar uzunluğu $a$ ve bu kenara ait yükseklik $h$ olmak üzere:

    $$\text{Alan} = a \cdot h$$

• Yamuğun Alanı: Alt tabanı $a$, üst tabanı $c$ ve yüksekliği $h$ olan yamuğun alanı:

  $$\text{Alan} = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$$

2. Birleşik Şekillerde Problem Çözme Stratejileri

1. Alan Toplama Yöntemi: Karmaşık bir şekil, alan formülü bilinen temel geometrik parçalara (üçgen, yamuk, daire dilimi vb.) ayrılarak her bir parçanın alanı tek tek hesaplanır ve toplanır.

2. Alan Çıkarma Yöntemi (Boyalı Bölge): İstenen taralı bölge, ana geometrik şeklin toplam alanından içerideki boşlukların (kesilen veya boyanmayan parçaların) çıkarılmasıyla bulunur.

3. Çözümlü Problemler (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Yamuk İçinde Daire Dilimi ve Kalan Boyalı Alan

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$, $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{D}) = 90^\circ$‘dir.

• $\vert{}AD\vert{} = 12\text{ cm}$ (Yamuğun dik kenarı / yüksekliği)

• $\vert{}DC\vert{} = 10\text{ cm}$ (Üst taban)

• $\vert{}AB\vert{} = 18\text{ cm}$ (Alt taban)

$A$ köşesi merkez kabul edilerek yarıçapı $6\text{ cm}$ olan çeyrek dairelik bir dilim yamuğun içinden kesilip atılıyor.

Geriye kalan boyalı bölgenin alanı kaç santimetrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Dik Yamuğun Toplam Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{yamuk}} = \frac{(a + c) \cdot h}{2} = \frac{(18 + 10) \cdot 12}{2} = \frac{28 \cdot 12}{2} = 28 \cdot 6 = 168\text{ cm}^2$$

2. Kesilen Çeyrek Daire Diliminin Alanı:

   $A$ köşesindeki açı $90^\circ$ olduğundan bu bir çeyrek dairedir ($r = 6\text{ cm}$):

   $$\text{Alan}_{\text{dilim}} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = 3 \cdot 6^2 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot 36 \cdot \frac{1}{4} = 27\text{ cm}^2$$

3. Kalan Boyalı Alan:

   $$\text{Kalan Alan} = 168 – 27 = 141\text{ cm}^2$$

Soru 2: Eşkenar Dörtgen İçinde Dairesel Havuz

Köşegen uzunlukları $24\text{ metre}$ ve $16\text{ metre}$ olan eşkenar dörtgen biçimindeki bir bahçenin tam merkezine, yarıçapı $4\text{ metre}$ olan daire şeklinde bir süs havuzu yapılmıştır. Bahçenin geriye kalan kısmı çimlendirilecektir.

Buna göre çimlendirilecek alan kaç metrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Eşkenar Dörtgen Biçimindeki Bahçenin Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{bahçe}} = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{24 \cdot 16}{2} = 24 \cdot 8 = 192\text{ m}^2$$

2. Dairesel Havuzun Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{havuz}} = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48\text{ m}^2$$

3. Çimlendirilecek Alan:

   $$\text{Çim Alanı} = 192 – 48 = 144\text{ m}^2$$

Soru 3: İki Daire Diliminin Oluşturduğu Halka Parçası

Merkezleri aynı $O$ noktası olan iki daire diliminin merkez açıları $60^\circ$‘dir.

• İçteki küçük dilimin yarıçapı: $r = 6\text{ cm}$

• Dıştaki büyük dilimin yarıçapı: $R = 12\text{ cm}$

Buna göre bu iki dilim arasında kalan daire halkası parçasının alanı kaç santimetrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Büyük Daire Diliminin Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{büyük}} = \pi \cdot R^2 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 3 \cdot 12^2 \cdot \frac{1}{6} = 3 \cdot 144 \cdot \frac{1}{6} = 72\text{ cm}^2$$

2. Küçük Daire Diliminin Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{küçük}} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 3 \cdot 6^2 \cdot \frac{1}{6} = 3 \cdot 36 \cdot \frac{1}{6} = 18\text{ cm}^2$$

3. Arada Kalan Bölgenin Alanı:

   $$\text{Alan} = 72 – 18 = 54\text{ cm}^2$$

Soru 4: Eşkenar Dörtgende Yükseklik ve Alan Eşitliği

Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları $12\text{ cm}$ ve $16\text{ cm}$, bir kenar uzunluğu ise $10\text{ cm}$‘dir.

Bu eşkenar dörtgenin kenarına ait yüksekliği ($h$) kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Eşkenar dörtgenin alanını köşegenler yardımıyla bulalım:

   $$\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96\text{ cm}^2$$

2. Aynı alan bağıntısı taban ile yüksekliğin çarpımına da eşittir ($\text{Alan} = a \cdot h$):

   $$10 \cdot h = 96$$

3. Yüksekliği bulalım:

   $$h = \frac{96}{10} = 9,6\text{ cm}$$

Soru 5: Yamuk ve Yarım Daireden Oluşan Birleşik Alan

Bir çocuk oyun parkı, alt tabanı $14\text{ m}$, üst tabanı $8\text{ m}$ ve yüksekliği $6\text{ m}$ olan bir yamuk ile bu yamuğun üst tabanına ($8\text{ m}$) oturtulmuş yarım daire şeklindeki bir kum havuzunun birleşiminden oluşmaktadır.

Yamuğun üst tabanı aynı zamanda yarım dairenin çapı olduğuna göre, oyun parkının toplam alanı kaç metrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Yamuk Bölümün Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{yamuk}} = \frac{(a + c) \cdot h}{2} = \frac{(14 + 8) \cdot 6}{2} = \frac{22 \cdot 6}{2} = 22 \cdot 3 = 66\text{ m}^2$$

2. Yarım Daire Biçimindeki Kum Havuzunun Alanı:

   Çap $2r = 8\text{ m} \implies r = 4\text{ m}$‘dir.

   $$\text{Alan}_{\text{yarım daire}} = \frac{\pi \cdot r^2}{2} = \frac{3 \cdot 4^2}{2} = \frac{3 \cdot 16}{2} = \frac{48}{2} = 24\text{ m}^2$$

3. Parkın Toplam Alanı:

   $$\text{Toplam Alan} = 66 + 24 = 90\text{ m}^2$$