1. Daire Dilimi Nedir?

Bir dairede, köşesi dairenin merkezinde bulunan bir merkez açının kolları (yarıçaplar) ve bu kolların çember üzerinde sınırladığı çember yayı arasında kalan kapalı düzlemsel bölgeye daire dilimi (veya daire kesmesi) denir.

• Daire dilimi günlük hayatta bir pizza veya pasta dilimine benzer.

• Daire diliminin büyüklüğü iki temel değişkene bağlıdır:

  1. Dairenin yarıçapı ($r$)

  2. Dilimi oluşturan merkez açının ölçüsü ($\alpha$)

2. Daire Diliminin Alan Bağıntısı (Merkez Açıya Göre)

Tam bir dairenin merkez açısı $360^\circ$ ve toplam alanı $\pi \cdot r^2$‘dir. Merkez açısının ölçüsü $\alpha$ (alfa) derece olan bir daire diliminin alanı, tam dairenin alanının $\frac{\alpha}{360^\circ}$ kesri kadardır:

• $\alpha$: Merkez açının derece cinsinden ölçüsü

• $r$: Dairenin yarıçapı

• $\pi$: Pi sayısı (Sorularda genellikle $3$, $3,14$ veya $\frac{22}{7}$ olarak verilir)

Pratik Merkez Açı Oranları:

• $\alpha = 180^\circ$ (Yarım Daire): $\frac{180^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{2} \implies \text{Alan} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}$

• $\alpha = 90^\circ$ (Çeyrek Daire): $\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4} \implies \text{Alan} = \frac{\pi \cdot r^2}{4}$

• $\alpha = 60^\circ$ (Altıda Bir Daire): $\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6} \implies \text{Alan} = \frac{\pi \cdot r^2}{6}$

• $\alpha = 45^\circ$ (Sekizde Bir Daire): $\frac{45^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{8} \implies \text{Alan} = \frac{\pi \cdot r^2}{8}$

3. Yay Uzunluğu Verildiğinde Daire Diliminin Alanı

Bir daire diliminin merkez açısı bilinmediğinde, yalnızca dilimi sınırlayan yayın uzunluğu ($\ell$) ve yarıçap ($r$) biliniyorsa alan doğrudan üçgen alanına benzer pratik bir bağıntıyla hesaplanabilir:

• $\ell$: Daire dilimini sınırlayan çember yayının uzunluğu

• $r$: Yarıçap

  (Bu bağıntıda yay uzunluğu üçgenin tabanı, yarıçap ise üçgenin yüksekliği gibi düşünülebilir).

4. Daire Diliminin Çevre Uzunluğu

Bir daire diliminin çevresi sorulduğunda yalnızca yay uzunluğu değil, dilimi oluşturan iki yarıçap uzunluğu da hesaba katılmalıdır:

5. Çözümlü Sorular (5 Adet Özgün Soru)

Soru 1: Temel Merkez Açı ile Alan Hesabı

Yarıçap uzunluğu $12\text{ cm}$ olan bir dairede, merkez açısının ölçüsü $60^\circ$ olan daire diliminin alanı kaç santimetrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Formülü yazalım:

   $$\text{Alan} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$$

2. Değerleri yerine yerleştirelim ($r = 12$, $\alpha = 60^\circ$, $\pi = 3$):

   $$\text{Alan} = 3 \cdot 12^2 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ}$$

3. Oranı sadeleştirelim ($\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$):

   $$\text{Alan} = 3 \cdot 144 \cdot \frac{1}{6}$$
   $$\text{Alan} = 432 \cdot \frac{1}{6} = 72\text{ cm}^2$$

Soru 2: Alandan Merkez Açıya Geçiş

Yarıçapı $10\text{ cm}$ olan bir dairede bir daire diliminin alanı $75\text{ cm}^2$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre bu daire dilimini gören merkez açının ölçüsü ($\alpha$) kaç derecedir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Tam dairenin alanını hesaplayalım:

   $$\text{Alan}_{\text{tam}} = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300\text{ cm}^2$$

2. Orantı kuralım veya formülde yerine yazalım:

   $$75 = 300 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$$

3. Sadeleştirme ve içler-dışlar çarpımı yapalım:

   $$\frac{75}{300} = \frac{\alpha}{360^\circ}$$
   $$\frac{1}{4} = \frac{\alpha}{360^\circ} \implies 4\alpha = 360^\circ \implies \alpha = 90^\circ$$

Soru 3: Yay Uzunluğundan Daire Diliminin Alanı

Yarıçapı $8\text{ cm}$ olan bir daire dilimini sınırlayan yayın uzunluğu $15\text{ cm}$‘dir.

Buna göre bu daire diliminin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözümü:

1. Yay uzunluğu ($\ell$) ve yarıçap ($r$) bilindiğinde kullanılan pratik formülü uygulayalım:

   $$\text{Alan} = \frac{\ell \cdot r}{2}$$

2. Verilenleri formüle yazalım ($\ell = 15\text{ cm}$, $r = 8\text{ cm}$):

   $$\text{Alan} = \frac{15 \cdot 8}{2} = \frac{120}{2} = 60\text{ cm}^2$$

Soru 4: Daire Diliminden Üçgen Alanı Çıkarma (Daire Parçası)

Yarıçap uzunluğu $6\text{ cm}$ olan bir dairede merkez açısı $90^\circ$ olan bir daire dilimi verilmiştir. Daire diliminin yayını birleştiren kiriş çizilerek içeride bir dik üçgen oluşturuluyor.

Bu dik üçgenin dışında, dilimin içinde kalan daire parçasının (boyalı bölgenin) alanı kaç santimetrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. $90^\circ$‘lik Daire Diliminin (Çeyrek Dairenin) Alanı:

   $$\text{Alan}_{\text{dilim}} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = 3 \cdot 6^2 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot 36 \cdot \frac{1}{4} = 27\text{ cm}^2$$

2. Oluşan Dik Üçgenin Alanı:

   Merkez açı $90^\circ$ olduğundan üçgenin dik kolları dairenin yarıçaplarıdır ($r = 6\text{ cm}$):

   $$\text{Alan}_{\text{üçgen}} = \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18\text{ cm}^2$$

3. Boyalı Bölgenin Alanı:

   $$\text{Kalan Alan} = \text{Alan}_{\text{dilim}} – \text{Alan}_{\text{üçgen}} = 27 – 18 = 9\text{ cm}^2$$

Soru 5: Dilimin Çevresi ve Alan İlişkisi

Merkez açısının ölçüsü $120^\circ$ olan bir daire diliminin çevre uzunluğu $28\text{ cm}$‘dir.

Buna göre bu daire diliminin alanı kaç santimetrekaredir? ($\pi = 3$ alınız.)

Çözümü:

1. Yay Uzunluğunu ($AB$ yayı) Yarıçap Cinsinden Yazalım:

   $$\ell = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot r \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 6r \cdot \frac{1}{3} = 2r$$

2. Dilimin Çevre Bağıntısından Yarıçapı Bulalım:

   Dilimin çevresi yay uzunluğu ile iki adet yarıçapın toplamıdır:

   $$\text{Çevre} = \ell + 2r$$
   $$28 = 2r + 2r \implies 4r = 28 \implies r = 7\text{ cm}$$

3. Yay Uzunluğu:

   $$\ell = 2r = 2 \cdot 7 = 14\text{ cm}$$

4. Daire Diliminin Alanı:

   $$\text{Alan} = \frac{\ell \cdot r}{2} = \frac{14 \cdot 7}{2} = 7 \cdot 7 = 49\text{ cm}^2$$