🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Orta Dikme Kavramı ve Geometrik İnşası

Bir doğru parçasını tam ortasından iki eşit parçaya bölen ve bu doğru parçasına dik ($90^\circ$) olan doğruya orta dikme denir.

Temel Geometrik Özellik:

Bir doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın, bu doğru parçasının uç noktalarına olan uzaklıkları birbirine daima eşittir.

Pergel ve Cetvel ile Orta Dikme İnşası Adımları:

Bir $[AB]$ doğru parçasının orta dikmesini pergel ve çizgisiz cetvel kullanarak çizmek için şu adımlar takip edilir:

1. Pergel Açıklığı: Pergelin sivri ucu $A$ noktasına batırılır ve pergelin açıklığı $[AB]$ doğru parçasının uzunluğunun yarısından daha fazla açılır.

2. Yayların Çizimi: Bu açıklık hiç bozulmadan doğru parçasının hem üst hem de alt tarafında kalacak şekilde iki yay çizilir.

3. Karşı Uçtan Kesiştirme: Pergel açıklığı kesinlikle değiştirilmeden, pergelin sivri ucu bu kez $B$ noktasına batırılır ve önceki yayları kesecek biçimde yeni iki yay çizilir.

4. Kesişim Noktalarını Birleştirme: Yayların kesiştiği iki nokta ($K$ ve $L$) belirlenir.

5. Orta Dikmenin Çizilmesi: Cetvel yardımıyla $K$ ve $L$ noktalarından geçen doğru çizilir. Çizilen bu doğru, $[AB]$ doğru parçasının hem orta noktasından geçer hem de ona diktir.

2. Açıortay Kavramı ve Geometrik İnşası

Bir açıyı ölçüleri birbirine eşit iki eş açıya ayıran ve açının tepe noktasından başlayan ışına açıortay denir.

Temel Geometrik Özellik:

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına (kollarına) indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

Pergel ve Cetvel ile Açıortay İnşası Adımları:

Bir $\widehat{BAC}$ açısının açıortayını inşa etmek için şu adımlar uygulanır:

1. Kolları Kesen Yay: Pergel belirli bir genişlikte açılır. Sivri uç açının tepe noktası olan $A$‘ya batırılır ve açının iki kolunu ($[AB$ ve $[AC$) kesecek bir yay çizilir. Bu yayın kolları kestiği noktalar $D$ ve $E$ olarak işaretlenir.

2. İç Bölgede Kesişen Yaylar: Pergel açıklığı bozulmadan (veya istenirse biraz daha açılarak) sivri uç önce $D$ noktasına batırılır ve açının iç bölgesinde bir yay çizilir. Ardından açıklık bozulmadan pergel $E$ noktasına batırılır ve ilk yayı kesecek şekilde ikinci bir yay çizilir.

3. Kesişim Noktası: Yayların açının iç bölgesinde kesiştiği nokta $P$ olarak adlandırılır.

4. Açıortay Işınının Çizilmesi: Cetvel yardımıyla tepe noktası $A$ ile kesişim noktası $P$‘yi birleştiren $[AP$ ışını çizilir. Bu ışın açıyı iki eş ölçüye böler.

3. Üçgende Orta Dikme ve Açıortayın Rolü

• Üçgende Kenar Orta Dikmeleri: Bir üçgenin üç kenarına ait orta dikmeler tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktası, üçgenin köşelerinden geçen çevrel çemberinin merkezidir.

• Üçgende İç Açıortaylar: Bir üçgenin üç iç açısına ait açıortaylar üçgenin içinde tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin kenarlarına içeriden teğet olan iç teğet çemberinin merkezidir.

4. Çözümlü Sorular

Soru 1: Orta Dikme Üzerindeki Noktanın Özelliği

Uzunluğu $16\text{ cm}$ olan bir $[KL]$ doğru parçasının orta dikmesi $d$ doğrusudur. $d$ doğrusu üzerinde seçilen bir $P$ noktasının $K$ noktasına olan uzaklığı $10\text{ cm}$‘dir.

Buna göre:

a) $P$ noktasının $L$ noktasına olan uzaklığı kaç santimetredir?

b) $P$ noktasının $[KL]$ doğru parçasına olan en kısa (dik) uzaklığı kaç santimetredir?

Çözümü:

1. $L$ Noktasına Uzaklık:

   Orta dikme üzerindeki her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit mesafededir.

   $$\vert{}PK\vert{} = \vert{}PL\vert{} \implies \vert{}PL\vert{} = 10\text{ cm}$$

2. Doğru Parçasına Olan En Kısa Uzaklık:

   Orta dikme $[KL]$‘yi tam ortadan ikiye böler. Orta nokta $M$ olsun:

   $$\vert{}KM\vert{} = \vert{}ML\vert{} = 16 \div 2 = 8\text{ cm}$$

   $P$ noktasının $[KL]$‘ye en kısa uzaklığı $\vert{}PM\vert{}$ dikmesidir. Oluşan $PMK$ dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanır:

   $$\vert{}PM\vert{}^2 + \vert{}KM\vert{}^2 = \vert{}PK\vert{}^2$$
   $$\vert{}PM\vert{}^2 + 8^2 = 10^2 \implies \vert{}PM\vert{}^2 + 64 = 100$$
   $$\vert{}PM\vert{}^2 = 36 \implies \vert{}PM\vert{} = 6\text{ cm}$$

Soru 2: Açıortay Kollarına İndirilen Dikmeler

Bir $\widehat{AOB}$ açısının açıortayı $[OC$ ışınıdır. $[OC$ ışını üzerinde alınan bir $M$ noktasından açının $[OA$ koluna çizilen dikmenin ayağı $D$, $[OB$ koluna çizilen dikmenin ayağı $E$‘dir.

$\vert{}MD\vert{} = (3x – 4)\text{ cm}$ ve $\vert{}ME\vert{} = (x + 8)\text{ cm}$ olduğuna göre:

a) $x$ değerini bulunuz.

b) $M$ noktasının açının kollarına olan dik uzaklığı kaç santimetredir?

Çözümü:

1. Geometrik Kural:

   Açıortay üzerindeki bir noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir ($\vert{}MD\vert{} = \vert{}ME\vert{}$):

   $$3x – 4 = x + 8$$

2. Denklemi Çözelim:

   $$3x – x = 8 + 4$$
   $$2x = 12 \implies x = 6$$

3. Uzaklık Hesabı:

   $$\vert{}MD\vert{} = 3(6) – 4 = 18 – 4 = 14\text{ cm}$$

Soru 3: Pergel Açıklığı ve İnşa Hatası

Bir öğrenci, uzunluğu $10\text{ cm}$ olan bir $[AB]$ doğru parçasının orta dikmesini inşa etmek için pergelini $4\text{ cm}$ açmış ve $A$ ile $B$ noktalarından yaylar çizmiştir.

Öğrencinin neden orta dikmeyi inşa edemediğini açıklayınız ve inşanın başarılı olması için pergel açıklığının en az kaç santimetreden büyük olması gerektiğini belirtiniz.

Çözümü:

1. İnşa Kuralı:

   Orta dikme inşasında her iki uçtan çizilen yayların kesişebilmesi için yayların yarıçapı, doğru parçasının yarısından kesinlikle büyük olmalıdır.

2. Durum Değerlendirmesi:

   Doğru parçasının uzunluğu $10\text{ cm}$ olduğundan yarısı $5\text{ cm}$‘dir. Öğrenci pergelini $4\text{ cm}$ açtığında, $A$ ve $B$ merkezli çizilen yayların uç noktaları arasındaki mesafe en fazla $4 + 4 = 8\text{ cm}$‘ye ulaşabilir. Arada $2\text{ cm}$‘lik boşluk kalır ve yaylar hiçbir noktada kesişmez.

3. Doğru Açıklık:

   İnşanın gerçekleşebilmesi için pergel açıklığı kesinlikle $5\text{ cm}$‘den büyük (örneğin $6-7\text{ cm}$) ayarlanmalıdır.

Soru 4: Açıortay ile Açı Bölünmesi

Ölçüsü $116^\circ$ olan bir $\widehat{XYZ}$ açısının $[YP$ açıortayı çiziliyor. Daha sonra oluşan $\widehat{XYP}$ açısının da $[YR$ açıortayı inşa ediliyor.

Buna göre oluşan $\widehat{RYZ}$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözümü:

1. İlk Açıortay Hesabı:

   $[YP$ ışını $116^\circ$‘lik açıyı iki eş parçaya böler:

   $$m(\widehat{XYP}) = m(\widehat{PYZ}) = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$$

2. İkinci Açıortay Hesabı:

   $[YR$ ışını $\widehat{XYP}$ açısını ($58^\circ$) iki eş parçaya böler:

   $$m(\widehat{XYR}) = m(\widehat{RYP}) = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$

3. $\widehat{RYZ}$ Açısının Hesabı:

   $\widehat{RYZ}$ açısı, $\widehat{RYP}$ ile $\widehat{PYZ}$ açılarının toplamından oluşur:

   $$m(\widehat{RYZ}) = m(\widehat{RYP}) + m(\widehat{PYZ}) = 29^\circ + 58^\circ = 87^\circ$$

Soru 5: Gerçek Yaşamda Eşit Uzaklık (Köy Çeşmesi Problemi)

Aralarındaki doğrusal mesafe $12\text{ km}$ olan $A$ ve $B$ köyleri arasına, her iki köye de tamamen eşit uzaklıkta olacak ve ana ulaşım yoluna dik bir su boru hattı döşenecektir.

Bu su hattının geçtiği hattı belirlemek için hangi geometrik inşadan yararlanılır? Bu hat üzerinde $A$ köyüne $10\text{ km}$ uzaklıkta inşa edilen bir su deposunun $B$ köyüne uzaklığı kaç kilometredir?

Çözümü:

1. Gerekli Geometrik İnşa:

   İki sabit noktaya eşit uzaklıktaki tüm noktaların geometrik yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme doğrusudur. Dolayısıyla $A$ ve $B$ noktalarını birleştiren hattın orta dikmesi inşa edilmelidir.

2. $B$ Köyüne Uzaklık:

   Orta dikme doğrusu üzerinde yer alan su deposunun $A$ ve $B$ köylerine olan mesafeleri birbirine eşit olmak zorundadır.

   $$\text{Mesafe}_A = \text{Mesafe}_B \implies \text{Mesafe}_B = 10\text{ km}$$