Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonun işlemini tersine çeviren bir fonksiyondur. Bir $f$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}$ ile gösterilir ve $f(a)=b$ ise, $f^{-1}(b)=a$ olur. Bir fonksiyonun tersinin var olması için bire-bir ve örten olması gerekir. Ters fonksiyonun kuralını bulmak için genellikle $f(x)=y$ yazılır, sonra $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerleri değiştirilir ve yeni denklemde $y$ yalnız bırakılarak ters fonksiyon elde edilir. Bu süreç doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar için farklı zorluk seviyelerinde uygulanır. Karesel fonksiyonların bire-bir olması için tanım kümeleri sınırlandırılmalıdır. Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

$f(x) = 3x-2$ fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = 2x-3$
B) $f^{-1}(x) = 3x+2$
C) $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$
D) $f^{-1}(x) = \frac{x-2}{3}$
E) $f^{-1}(x) = \frac{x}{3}-2$

Çözüm:
$y = 3x-2$ olarak yazalım. Şimdi $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirelim:
$x = 3y-2$
Bu denklemde $y$’yi yalnız bırakalım:
$x+2 = 3y$
$y = \frac{x+2}{3}$.
Dolayısıyla $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$’tür.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

$f(x) = \frac{x+1}{2x-3}$ fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2x-1}$
B) $f^{-1}(x) = \frac{3x-1}{2x+1}$
C) $f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{3x-1}$
D) $f^{-1}(x) = \frac{2x-1}{3x+1}$
E) $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2x+1}$

Çözüm:
$y = \frac{x+1}{2x-3}$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x = \frac{y+1}{2y-3}$
$x(2y-3) = y+1$
$2xy – 3x = y+1$
$2xy – y = 3x+1$
$y(2x-1) = 3x+1$
$y = \frac{3x+1}{2x-1}$.
Dolayısıyla $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2x-1}$’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 3:

$f(x) = \sqrt{x-4}$ fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = x^2-4$
B) $f^{-1}(x) = x^2+4$
C) $f^{-1}(x) = (x+4)^2$
D) $f^{-1}(x) = x+4$
E) $f^{-1}(x) = 4-x^2$

Çözüm:
$y = \sqrt{x-4}$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x = \sqrt{y-4}$
Her iki tarafın karesini alalım:
$x^2 = y-4$
$y = x^2+4$.
Dolayısıyla $f^{-1}(x) = x^2+4$’tür. (Tanım kümesi $x \geq 0$ olacak şekilde)
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 4:

$f(x) = (x-1)^2$ fonksiyonunun tersi, $x \geq 1$ için aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = \sqrt{x}-1$
B) $f^{-1}(x) = \sqrt{x}+1$
C) $f^{-1}(x) = x^2+1$
D) $f^{-1}(x) = \sqrt{x-1}$
E) $f^{-1}(x) = \sqrt{x+1}$

Çözüm:
$y = (x-1)^2$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x = (y-1)^2$
Her iki tarafın karekökünü alalım:
$\sqrt{x} = y-1$
$y = \sqrt{x}+1$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 5:

$f(x)=2x+1$ ise $f^{-1}(5)$ değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 11

Çözüm:
$f^{-1}(5)=a$ ise $f(a)=5$’tir. Orijinal fonksiyonu 5’e eşitleyip $x$ değerini bulalım:
$2x+1=5$
$2x = 4$
$x=2$.
Dolayısıyla $f^{-1}(5)=2$’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 6:

$f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ fonksiyonu için $f(f^{-1}(4))$ değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi, birim fonksiyona eşittir. Yani $f(f^{-1}(x))=x$’tir. Bu nedenle $f(f^{-1}(4))=4$’tür.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 7:

$f(x) = 5x-3$ fonksiyonunun ters fonksiyonunun $x=7$ noktasındaki değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
$f^{-1}(7)=a$ diyelim. Bu durumda $f(a)=7$ olmalıdır. Orijinal fonksiyonu 7’ye eşitleyip $x$ değerini bulalım:
$5x-3 = 7$
$5x = 10$
$x=2$.
Dolayısıyla $f^{-1}(7)=2$’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 8:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi bir fonksiyon değildir?

A) $f(x)=2x+5$
B) $f(x)=x^3$
C) $f(x)=x^2$
D) $f(x)=\sqrt{x-1}$
E) $f(x)=\frac{1}{x}$

Çözüm:
Bir fonksiyonun tersinin var olması için bire-bir olması gerekir. $f(x)=x^2$ fonksiyonu bire-bir değildir çünkü $f(-2)=4$ ve $f(2)=4$’tür, yani farklı x değerleri aynı y değerine eşittir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 9:

$f(x) = \frac{x}{x-2}$ ise $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{2x}{x-1}$
B) $\frac{x-2}{x}$
C) $\frac{2x}{x+1}$
D) $\frac{x}{x-2}$
E) $\frac{x}{x+2}$

Çözüm:
$y = \frac{x}{x-2}$ olarak yazalım, sonra $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x = \frac{y}{y-2}$
$x(y-2) = y$
$xy – 2x = y$
$xy – y = 2x$
$y(x-1) = 2x$
$y = \frac{2x}{x-1}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 10:

$f(x) = \sqrt[3]{x+1}$ ise $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x^3-1$
B) $x^3+1$
C) $(x+1)^3$
D) $(x-1)^3$
E) $\sqrt[3]{x}-1$

Çözüm:
$y=\sqrt[3]{x+1}$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x=\sqrt[3]{y+1}$
Her iki tarafın küpünü alalım:
$x^3 = y+1$
$y = x^3-1$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 11:

$f(x)=2x^2+1$ fonksiyonunun tersi, $x \ge 0$ için aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x)=\sqrt{2x-1}$
B) $f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2}}$
C) $f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2$
D) $f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}/2$
E) $f^{-1}(x)=\sqrt{x/2}-1$

Çözüm:
$y=2x^2+1$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x=2y^2+1$
$x-1=2y^2$
$\frac{x-1}{2}=y^2$
$y = \sqrt{\frac{x-1}{2}}$. $x \ge 0$ olduğu için karekökün pozitif değerini alırız.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 12:

$f(x) = \frac{x+2}{2x-1}$ ise $f^{-1}(x)$’in düşey asimptotu nedir?

A) $x=2$
B) $x=1$
C) $x=1/2$
D) $x=0$
E) $x=-1/2$

Çözüm:
$f^{-1}(x)$’in düşey asimptotu, $f(x)$’in yatay asimptotudur. $f(x) = \frac{x+2}{2x-1}$ fonksiyonunun yatay asimptotu, pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan, katsayıların oranına eşittir.
$y = \frac{1}{2}$.
Ters fonksiyonun düşey asimptotu $x=1/2$’dir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 13:

$f(x) = 4x-1$ ve $g(x) = f^{-1}(x)$ ise, $g(x)$ fonksiyonunun $x=7$ noktasındaki değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7

Çözüm:
$g(7) = f^{-1}(7)$. Orijinal fonksiyonu 7’ye eşitleyelim:
$4x-1 = 7$
$4x = 8$
$x=2$.
Dolayısıyla $g(7)=2$’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 14:

$f(x) = 2x+3$ fonksiyonu ile tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun grafikleri hangi doğruya göre simetriktir?

A) $x$ ekseni
B) $y$ ekseni
C) $y=-x$ doğrusu
D) $y=x$ doğrusu
E) Orijin

Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, $y=x$ doğrusuna göre simetriktir. Bu, ters fonksiyonun temel bir geometrik özelliğidir.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 15:

$f(x)=x^2+2$ ve $f:[0, \infty) \to [2, \infty)$ ise $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x^2-2$
B) $\sqrt{x-2}$
C) $\sqrt{x}+2$
D) $\sqrt{x-2}+2$
E) $\sqrt{x+2}$

Çözüm:
$y=x^2+2$ olarak yazıp $x$ ve $y$’nin yerlerini değiştirelim:
$x=y^2+2$
$x-2=y^2$
$y = \sqrt{x-2}$. Fonksiyonun tanım kümesi $x \ge 0$ olduğu için ters fonksiyonun görüntü kümesi de $y \ge 0$ olacaktır, bu nedenle pozitif karekökü alırız.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---