Dik koordinat sisteminde bir doğrunun analitik incelenmesi, o doğrunun konumunu, yönünü ve eksenleri kestiği noktaları cebirsel yöntemlerle belirlemeyi içerir. Bu incelemenin en temel unsurları **eğim (slope)** ve **doğru denklemi**dir. Bir doğrunun eğimi, dikey değişim miktarının yatay değişim miktarına oranıdır ve doğrunun ne kadar dik olduğunu veya hangi yöne eğimli olduğunu gösterir. Eğim, iki noktanın koordinatları kullanılarak veya denklemi $y=mx+n$ formuna dönüştürülerek bulunabilir. Doğru denklemi ise, o doğru üzerindeki tüm noktaların sağladığı ilişkiyi gösterir. Analitik inceleme, paralel doğruların eşit eğime sahip olması ($m_1=m_2$) ve dik doğruların eğimlerinin çarpımının -1’e eşit olması ($m_1 \cdot m_2 = -1$) gibi geometrik özellikleri cebirsel olarak ifade etmemize olanak tanır. Bu testler, bu temel kavramları pekiştirerek, geometrik problemleri analitik düşünme yeteneği ile çözmenizi sağlayacaktır.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

A(2, 5) ve B(4, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
İki noktadan geçen doğrunun eğimi: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m = \frac{9-5}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 2:

$2x+3y-6=0$ doğrusunun eğimi kaçtır?

A) 2/3
B) -2/3
C) 3/2
D) -3/2
E) 6

Çözüm:
Doğru denklemini $y=mx+n$ formuna getirelim:
$3y = -2x+6$
$y = -\frac{2}{3}x+2$.
Eğim, x’in katsayısıdır, yani $m = -2/3$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 3:

Eğimi $m=3$ olan ve P(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=3x+1$
B) $y=3x+4$
C) $y=3x-1$
D) $y=3x-4$
E) $y=3x$

Çözüm:
Nokta-eğim formülü: $y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-4 = 3(x-1)$
$y-4 = 3x-3$
$y = 3x+1$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 4:

Denklemi $y=-2x+5$ olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) -2
B) 5
C) 2
D) 0
E) 10

Çözüm:
Doğrunun y eksenini kestiği noktada x koordinatı 0’dır. Denklemde $x=0$ yazarsak: $y = -2(0)+5 \Rightarrow y=5$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 5:

$y=4x-2$ doğrusuna paralel olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

A) $y=4x-3$
B) $y=4x+1$
C) $y=4x-1$
D) $y=4x+3$
E) $y=4x-5$

Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri eşittir. Verilen doğrunun eğimi $m=4$’tür. Yeni doğru da aynı eğime sahip olmalıdır. Nokta-eğim formülünü kullanalım:
$y-1 = 4(x-1)$
$y-1 = 4x-4$
$y = 4x-3$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 6:

$x=3$ doğrusu ile $y=-2$ doğrusunun kesim noktasının koordinatları nedir?

A) (3, -2)
B) (-2, 3)
C) (0, 0)
D) (3, 0)
E) (0, -2)

Çözüm:
$x=3$ doğrusu x eksenine dik, $y=-2$ doğrusu y eksenine diktir. Kesim noktası, her iki denklemi de sağlayan noktadır. Bu nokta $x=3$ ve $y=-2$ koordinatlarına sahiptir, yani (3, -2)’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 7:

$y=2x-4$ doğrusu ile dik kesişen ve P(0, 0) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

A) $y=-2x$
B) $y=x/2$
C) $y=-x/2$
D) $y=2x$
E) $y=-x/2-4$

Çözüm:
Verilen doğrunun eğimi $m_1=2$’dir. Dik doğrunun eğimi $m_2$ için $m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow 2 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -1/2$.
P(0, 0) noktasından geçen doğru, eğim-kesim noktası formülünde $n=0$ demektir. Bu durumda denklemi $y=mx$ olur.
$y = -x/2$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 8:

Bir doğru, x eksenini (3, 0) noktasında, y eksenini ise (0, 4) noktasında kesmektedir. Bu doğrunun denklemi nedir?

A) $4x+3y=12$
B) $3x+4y=12$
C) $4x-3y=12$
D) $3x-4y=12$
E) $4x+3y=-12$

Çözüm:
Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.
Burada $a=3$ ve $b=4$’tür. $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$.
Paydaları eşitlemek için denklemi 12 ile çarpalım: $4x+3y=12$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

A(1, a), B(3, 5) ve C(5, 7) noktaları doğrusal (aynı doğru üzerinde) ise a kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Üç nokta doğrusal ise, herhangi ikisinin eğimi eşit olmalıdır. AB ve BC’nin eğimini eşitleyelim.
$m_{AB} = \frac{5-a}{3-1} = \frac{5-a}{2}$
$m_{BC} = \frac{7-5}{5-3} = \frac{2}{2} = 1$
$\frac{5-a}{2} = 1 \Rightarrow 5-a=2 \Rightarrow a=3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 10:

Bir doğrunun $x$ ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı $135^\circ$ ise eğimi kaçtır?

A) 1
B) -1
C) $\sqrt{2}$
D) $-\sqrt{3}$
E) Tanımsız

Çözüm:
Doğrunun eğimi, x ekseni ile yaptığı açının tanjantına eşittir. $m = \tan(135^\circ) = -1$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 11:

Denklemi $y=-x+3$ olan doğrunun grafiği hangi bölgelerden geçmez?

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) Hepsi geçer

Çözüm:
$y=-x+3$ doğrusunun eğimi negatiftir ($m=-1$), y eksenini (0, 3)’te, x eksenini (3, 0)’da keser. Grafik I. bölgeden (pozitif x, pozitif y), II. bölgeden (negatif x, pozitif y) ve IV. bölgeden (pozitif x, negatif y) geçer. Bu doğru III. bölgeden geçmez.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 12:

Bir doğru, $y=2x+4$ doğrusuna paraleldir ve $x=0$ iken $y=1$’den geçmektedir. Bu doğrunun denklemi nedir?

A) $y=2x+1$
B) $y=2x+4$
C) $y=-2x+1$
D) $y=2x-1$
E) $y=x+1$

Çözüm:
Paralel olduğu için eğim $m=2$’dir. $x=0$ iken $y=1$ olması, y eksenini kestiği noktanın (0, 1) olduğunu gösterir. Bu durumda denklemin genel formu $y=mx+n$ olup, $y=2x+1$’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 13:

$ax+4y+6=0$ doğrusu ile $x-y+2=0$ doğrusu birbirine dik ise a kaçtır?

A) -4
B) -1
C) 1
D) 2
E) 4

Çözüm:
Birinci doğrunun eğimi: $4y=-ax-6 \Rightarrow y=-\frac{a}{4}x-\frac{6}{4}$. $m_1 = -a/4$.
İkinci doğrunun eğimi: $-y=-x-2 \Rightarrow y=x+2$. $m_2=1$.
Dik doğruların eğim çarpımı -1’dir: $m_1 \cdot m_2 = -1$
$(-\frac{a}{4}) \cdot 1 = -1 \Rightarrow -\frac{a}{4}=-1 \Rightarrow a=4$.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 14:

Köşeleri A(-1, 0), B(3, 0) ve C(1, 4) olan ABC üçgeninin BC kenarını taşıyan doğrunun denklemi nedir?

A) $y=2x+2$
B) $y=-2x+6$
C) $y=2x-6$
D) $y=-2x+2$
E) $y=x-1$

Çözüm:
BC doğrusunun eğimini bulalım: $m_{BC} = \frac{4-0}{1-3} = \frac{4}{-2} = -2$.
Şimdi eğimi -2 olan ve B(3, 0) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.
$y-0 = -2(x-3) \Rightarrow y = -2x+6$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 15:

$y=2x-1$ doğrusunun x ekseni üzerindeki kesim noktasından geçen ve $y=-x+3$ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir?

A) $y=x-1/2$
B) $y=-x+1/2$
C) $y=-x-1/2$
D) $y=x+1/2$
E) $y=-x+3$

Çözüm:
1. $y=2x-1$ doğrusunun x eksenini kestiği noktayı bulalım ($y=0$): $0=2x-1 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=1/2$. Nokta $(1/2, 0)$’dır.
2. $y=-x+3$ doğrusuna paralel olan doğrunun eğimi $m=-1$’dir.
3. Eğimi -1 olan ve $(1/2, 0)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım:
$y-0 = -1(x-1/2) \Rightarrow y = -x+1/2$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---