Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar Test Çöz 6. Sınıf Matematik (Maarif Modeli)

6. Sınıf Matematik Testleri 6. Sınıf Testleri Testler

29.09.2025

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar Testleri (Yeni Müfredat Maarif Modeli)

Asal Sayı Nedir?

Bir sayının asal sayı olabilmesi için sadece iki tane pozitif tam sayı böleni olmalıdır: 1 ve kendisi.
Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Önemli Notlar:
- 1 asal sayı değildir. Çünkü sadece bir tane pozitif tam sayı böleni vardır (kendisi).
- En küçük asal sayı 2’dir.
- Tek çift asal sayı 2’dir. Diğer tüm asal sayılar tektir.

Asal Çarpan Nedir?

Bir sayının çarpanları (bölenleri) arasından asal olanlara o sayının asal çarpanları denir.
Her bileşik sayı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu ifadeye asal çarpanlarına ayırma denir.

Bir Sayının Asal Çarpanlarını Bulma Yöntemleri

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için iki temel yöntem kullanılır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak çarpanlarına ayırın.
Her bir dalın ucundaki sayılar asal olana kadar işleme devam edin.
Ağacın en altındaki asal sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
Örnek: 12 sayısının asal çarpanları için: 12’yi 2 x 6 olarak ayırırız. 6’yı da 2 x 3 olarak ayırırız. Böylece 12 = 2 x 2 x 3 olur. Asal çarpanları 2 ve 3’tür.

2. Asal Çarpanlara Ayırma (Bölme) Yöntemi

Sayıyı bir dikey çizgi çekerek sağ tarafına en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
Bölüm asal bir sayı olana kadar veya 1’e ulaşana kadar işleme devam edin.
Dikey çizginin sağ tarafında kalan asal sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
Örnek: 30 sayısının asal çarpanları için:
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Buna göre 30 = 2 x 3 x 5’tir. Asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Elif, matematik dersinde asal sayıları öğrenirken, öğretmeninin verdiği bir ödevi yapmaktadır. Ödevde, belirli bir sayı kümesindeki asal sayıları belirlemesi isteniyor. Elif’e verilen sayı kümesi {23, 39, 41, 51, 67, 87, 91} şeklindedir. Elif, bu sayı kümesindeki her sayıyı tek tek inceleyerek asal olup olmadığını kontrol etmiştir.
Buna göre, Elif bu kümede kaç tane asal sayı bulmuştur?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Çözüm: Verilen sayıları tek tek inceleyelim:
– 23: Sadece 1 ve 23’e bölünür. Asal sayıdır.
– 39: 1, 3, 13, 39’a bölünür ($39 = 3 \times 13$). Asal sayı değildir.
– 41: Sadece 1 ve 41’e bölünür. Asal sayıdır.
– 51: 1, 3, 17, 51’e bölünür ($51 = 3 \times 17$). Asal sayı değildir.
– 67: Sadece 1 ve 67’ye bölünür. Asal sayıdır.
– 87: 1, 3, 29, 87’ye bölünür ($87 = 3 \times 29$). Asal sayı değildir.
– 91: 1, 7, 13, 91’e bölünür ($91 = 7 \times 13$). Asal sayı değildir.
Bu kümede asal olan sayılar 23, 41 ve 67’dir. Toplamda 3 tane asal sayı vardır.
Doğru cevap A’dır.

2. soru: Bir fırıncı, özel bir sipariş için 120 adet kurabiye yapmıştır. Bu kurabiyeleri, her pakette eşit sayıda kurabiye olacak şekilde ve paket sayısı da bir asal sayı olacak biçimde paketlemek istemektedir. Fırıncı, bu kurabiyeleri en az sayıda pakete koymak şartıyla paketlediğinde, her pakette kaç kurabiye olur?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 24
Çözüm: Kurabiyeleri en az sayıda pakete koymak demek, paket sayısının mümkün olduğunca büyük olması demektir. Ayrıca paket sayısı bir asal sayı olmalıdır.
Öncelikle 120 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
$120 = 2 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
Yani $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
120’nin asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Paket sayısı bir asal sayı olmalı ve en az sayıda paket olması için bu asal çarpanlardan en büyüğü seçilmelidir. Bu durumda paket sayısı 5 olmalıdır.
Eğer 5 paket olursa, her pakette $120 \div 5 = 24$ kurabiye bulunur.
Doğru cevap D’dir.

3. soru: Bir şifreleme sisteminde, bir sayının şifresi, o sayının tüm farklı asal çarpanlarının toplamı olarak belirlenmektedir. Örneğin, 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3 olduğu için şifresi $2+3=5$’tir. Bu sistemde şifreler sadece pozitif tam sayılar için oluşturulmaktadır.
Buna göre, 180 sayısının şifresi kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 17
Çözüm: 180 sayısının farklı asal çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Bunun için 180’i asal çarpanlarına ayıralım:
$180 = 2 \times 90$
$90 = 2 \times 45$
$45 = 3 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
Yani $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
180 sayısının farklı asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Şifre, bu farklı asal çarpanların toplamıdır: $2 + 3 + 5 = 10$.
Doğru cevap A’dır.

4. soru: Bir marangoz, elindeki 96 cm uzunluğundaki bir tahta parçasını, her bir parçanın uzunluğu asal sayı olacak şekilde ve hiç artmayacak biçimde kesmek istiyor. Marangoz, bu tahta parçasını en az sayıda kesim yaparak bölmek istediğinde, elde ettiği parçaların uzunlukları hangi asal sayıların çarpımı şeklinde ifade edilir? (Parça uzunlukları aynı olmak zorunda değildir, önemli olan her bir parçanın uzunluğunun asal sayı olmasıdır.)
A) $2^5 \times 3$
B) $2^4 \times 3^2$
C) $2^3 \times 3 \times 5$
D) $2^2 \times 3 \times 7$
Çözüm: Soruda “en az sayıda kesim yaparak bölmek” ifadesi, tahta parçasının uzunluğunu oluşturan asal çarpanların her birinin bir parça uzunluğu olarak kabul edilmesi gerektiğini gösterir. Bu durumda, 96 sayısının asal çarpanlarını bulmamız gerekmektedir.
96 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
$96 = 2 \times 48$
$48 = 2 \times 24$
$24 = 2 \times 12$
$12 = 2 \times 6$
$6 = 2 \times 3$
Yani $96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3$.
Bu durumda, marangoz tahtayı 5 adet 2 cm’lik ve 1 adet 3 cm’lik parçalara ayırmış olur. Her bir parça uzunluğu asal sayıdır (2 ve 3). Bu parçaların çarpımı da 96’yı verir.
Doğru cevap A’dır.

5. soru: Zeynep, matematik defterine 1’den 50’ye kadar olan sayıları yazmış ve bu sayılar arasından bazı özelliklere sahip olanları işaretlemiştir. Zeynep, asal sayıları kırmızı kalemle, 4’ün katı olan sayıları ise mavi kalemle işaretlemiştir. Zeynep, her iki özelliği de taşıyan bir sayı olup olmadığını merak etmektedir.
Zeynep’in 1 ile 50 arasında kırmızı kalemle işaretlediği sayılardan kaç tanesi aynı zamanda mavi kalemle işaretlenmiş olamaz?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 17
Çözüm: Kırmızı kalemle işaretlenen sayılar asal sayılardır. Mavi kalemle işaretlenen sayılar ise 4’ün katı olan sayılardır.
Bir sayının hem asal hem de 4’ün katı olması mümkün değildir. Çünkü 4’ün katı olan her sayı (örneğin 4, 8, 12, 16, …) 4’e bölünebilir. Asal sayılar ise sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Dolayısıyla, 4’ün katı olan hiçbir sayı asal olamaz.
Bu durumda, Zeynep’in kırmızı kalemle işaretlediği tüm asal sayılar, mavi kalemle işaretlenmiş olamaz.
1 ile 50 arasındaki asal sayıları listeleyelim:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Bu listede toplam 15 tane asal sayı bulunmaktadır. Bu 15 sayının hiçbiri 4’ün katı değildir.
Doğru cevap C’dir.

6. soru: Bir bilgi yarışmasında, yarışmacılara “asal sayı” ve “asal çarpan” konularıyla ilgili bir soru sorulmuştur. Soru şu şekildedir: “İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının toplamının asal çarpanları nelerdir?” Yarışmacılar, bu soruyu doğru cevaplamak için gerekli hesaplamaları yapmalıdır.
Buna göre, yarışmacıların doğru cevabı bulabilmeleri için hangi asal çarpanları belirtmeleri gerekir?
A) 2 ve 3
B) 3 ve 5
C) 2, 3 ve 5
D) Sadece 2
Çözüm: Öncelikle soruda istenen sayıları bulalım:
– İki basamaklı en büyük asal sayı: 97’dir. (98, 99, 100 asal değildir, 97 asal bir sayıdır.)
– İki basamaklı en küçük asal sayı: 11’dir. (10 asal değildir, 11 asal bir sayıdır.)
Bu iki sayının toplamını bulalım:
$97 + 11 = 108$.
Şimdi 108 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
$108 \div 2 = 54$
$54 \div 2 = 27$
$27 \div 3 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Yani $108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$.
108 sayısının farklı asal çarpanları 2 ve 3’tür.
Doğru cevap A’dır.