Trigonometri, matematiğin temel bir dalı olarak üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri inceler. Bu konunun özü, dik üçgenler üzerinde kurulan trigonometrik oranlardır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Bu oranlar, bir açının karşısındaki, komşusundaki ve hipotenüs kenarları arasındaki ilişkiyi belirtir. Oranlar, üçgenin boyutundan bağımsızdır. Bu temel oranların birbiriyle olan ilişkileri ise trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılır. Bu bilgiler, sadece matematik dersleri için değil, aynı zamanda mühendislik ve fizikteki birçok problem için de temel teşkil eder.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. Bir dik üçgende sinA = 5/13 olduğuna göre, tanA değeri kaçtır?

A) 5/12 B) 12/5 C) 12/13 D) 13/5

Doğru Cevap: A

Çözüm: sinA = Karşı Kenar / Hipotenüs = 5/13’tür. Bu, 5-12-13 özel dik üçgenini gösterir. Karşı dik kenar 5, hipotenüs 13 ise komşu dik kenar 12’dir. tanA = Karşı Kenar / Komşu Kenar = 5/12’dir.

---

2. $sinx=0.6$ ise, $cosx$ değeri kaçtır?

A) 0.4 B) 0.6 C) 0.8 D) 1

Doğru Cevap: C

Çözüm: $sinx=0.6=6/10=3/5$‘tir. Bu, bir 3-4-5 dik üçgenini gösterir. sinx = Karşı / Hipotenüs = 3/5 ise, cosx = Komşu / Hipotenüs = 4/5 = 0.8’dir.

---

3. Bir ABC dik üçgeninde, m(A) = 90 derece, |AB| = 7 birim ve |AC| = 24 birimdir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir?

A) 25 B) 26 C) 28 D) 30

Doğru Cevap: A

Çözüm: Pisagor Teoremi’ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. |BC|² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. |BC| = kök(625) = 25 birimdir.

---

4. $(1-sinx)(1+sinx)$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) sin kare x B) cos kare x C) tan kare x D) cot kare x

Doğru Cevap: B

Çözüm: $(1-sinx)(1+sinx)=1-sinkarex$‘tir. Temel trigonometrik özdeşlik olan $sinkarex+coskarex=1$‘den, $1-sinkarex=coskarex$‘tir.

---

5. Bir dik üçgenin dar açılarından birinin tanjantı 2’dir. Bu açının sinüsü kaçtır?

A) 1/kök(5) B) 2/kök(5) C) kök(5)/2 D) kök(5)

Doğru Cevap: B

Çözüm: tanx = 2 = 2/1’dir. Bu, karşı dik kenarın 2, komşu dik kenarın 1 olduğu anlamına gelir. Pisagor teoremine göre hipotenüsün karesi 1² + 2² = 5’tir. Hipotenüs = kök(5)’tir. sinx = Karşı Kenar / Hipotenüs = 2 / kök(5)’tir.

---

6. Bir dik üçgende, $\cos \beta =4/5$ olduğuna göre, $tan\beta$ değeri kaçtır?

A) 3/4 B) 4/3 C) 5/3 D) 3/5

Doğru Cevap: A

Çözüm: $\cos \beta =4/5$ olduğuna göre, bu bir 3-4-5 dik üçgenidir. Komşu dik kenar 4, hipotenüs 5 ise, karşı dik kenar 3’tür. $\tan \beta$ = Karşı / Komşu = 3/4’tür.

---

7. sin2(40derece)+cos2(40derece) ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2

Doğru Cevap: C

Çözüm: Temel trigonometrik özdeşlik olan sin2x+cos2x=1‘e göre, sin2(40derece)+cos2(40derece)=1‘dir.

---

8. Bir dik üçgende, bir açının sinüs değeri 1/2’dir. Bu açının kosinüsü kaçtır?

A) $1/2$ B) ko¨k(3)/2 C) ko¨k(2)/2 D) $1$

Doğru Cevap: B

Çözüm: sinx = 1/2’dir. Bu 30-60-90 özel üçgenini gösterir. Karşı dik kenar 1, hipotenüs 2 ise, komşu dik kenar kök(3)’tür. cosx = Komşu / Hipotenüs = kök(3)/2’dir.

---

9. $\tanx = 1$ ise, $sinx+cosx$ değeri kaçtır?

A) 1 B) ko¨k(2) C) ko¨k(3) D) 2

Doğru Cevap: B

Çözüm: $\tanx = 1$ ise, bu açı 45 derecedir. sin(45derece)=ko¨k(2)/2 ve cos(45derece)=ko¨k(2)/2‘dir. sin(45derece)+cos(45derece)=ko¨k(2)/2+ko¨k(2)/2=2ko¨k(2)/2=ko¨k(2)‘dir.

---

10. Bir ABC dik üçgeninde, $m(B)=90$ derece, $|AB|=9$ ve $|BC|=12$ ise, $\cos C$ değeri kaçtır?

A) 3/5 B) 4/5 C) 3/4 D) 4/3

Doğru Cevap: A

Çözüm: |AB| = 9, |BC| = 12 ise, Pisagor Teoremi’nden hipotenüs |AC| = 15’tir (9-12-15 üçgeni, 3-4-5 üçgeninin 3 katı). $\cos C$ = Komşu Kenar / Hipotenüs = |BC| / |AC| = 12/15 = 4/5’tir.

---

11. cos2x1​−1 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) sin2x B) cos2x C) tan2x D) cot2x

Doğru Cevap: C

Çözüm: 1/cos2x=sec2x‘tir. sec2x−1=tan2x bir özdeşliktir.

---

12. $tan(x)\cdot cot(x)$ işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1 C) -1 D) tan2x

Doğru Cevap: B

Çözüm: $\cotx = 1/\tanx$ olduğundan, $tanx\cdot (1/tanx)=1$‘dir.

---

13. Bir ABC üçgeninde $m(A)=90$ derece, $|AB|=8$ ve $\sin C=4/5$ olduğuna göre, $|AC|$ kenarının uzunluğu kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

Doğru Cevap: A

Çözüm: $\sin C=|AB|/|BC|=8/|BC|=4/5$ olduğuna göre, $|BC|=10$‘dur. Bu bir 6-8-10 üçgenidir. Pisagor’dan ∣AC∣2+82=102 ve ∣AC∣2=100−64=36 ve $|AC|=6$‘dır.

---

14. tan(x)sin(x)​ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\sin x$ B) $\cos x$ C) $\tan x$ D) $\cot x$

Doğru Cevap: B

Çözüm: $\tan x=\sin x/\cos x$‘tir. sin(x)/cos(x)sin(x)​=sinx⋅sinxcosx​=cosx‘tir.

---

15. Bir dik üçgende, $\tan \theta =12/5$ ise, $\cos \theta$ değeri kaçtır?

A) 5/12 B) 12/5 C) 5/13 D) 12/13

Doğru Cevap: C

Çözüm: $\tan \theta =12/5$ olduğuna göre, bu bir 5-12-13 üçgenidir. Karşı kenar 12, komşu kenar 5 ise hipotenüs 13’tür. $\cos \theta$ = Komşu Kenar / Hipotenüs = 5/13’tür.