💡 9. Sınıf Matematik: Öklit, Pisagor, Tales Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

• Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
• Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
• Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
• Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
• Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \).
• Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \).
• Sonuç: \( c = 10 \) cm. ✅

Yani, hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.

Tales Teoremi, özellikle paralel doğrular ve kesenleri arasındaki orantıları inceler. Bu soruda doğrudan Tales Teoremi'nin klasik uygulaması olmasa da, benzerlik kavramı üzerinden bir yorum yapabiliriz. Ancak, bu üçgenin kenar uzunlukları ile doğrudan bir Tales Teoremi uygulaması için ek bilgiye (örneğin paralel çizgiler) ihtiyaç vardır.
Eğer soruyu daha genel bir benzerlik sorusu olarak ele alırsak:

• Tales Teoremi'nin temelinde benzerlik yatar. İki üçgenin açıları eş ise, bu üçgenler benzerdir ve kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır.
• Bu üçgenin kenar uzunlukları 12, 18 ve 24'tür. Bu kenarlar arasında bir oran bulabiliriz: \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \) ve \( \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \). Bu oranlar farklı olduğu için, bu üçgenin kenarları arasında basit bir orantısal ilişki (örneğin ikizkenar veya eşkenar üçgen gibi) yoktur.
• Tales Teoremi'nin klasik bir uygulaması için, örneğin bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük ve büyük üçgenlerin benzerliği incelenir. Bu durumda, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin kenarlarına oranı sabit olur.
• Bu soruda verilen bilgilerle, doğrudan bir Tales Teoremi uygulaması yapmak yerine, sadece kenar uzunlukları arasındaki basit oranları gözlemleyebiliriz. Tales Teoremi'nin tam olarak uygulanabilmesi için paralel doğrular veya benzer üçgenler gibi ek geometrik yapılar gereklidir. 📌

Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.

• Merdivenin boyu hipotenüstür (\( c = 5 \) m).
• Duvarın yüksekliği (merdivenin duvara dayandığı nokta) dik kenarlardan biridir (\( a = 4 \) m).
• Merdivenin duvara olan uzaklığı ise diğer dik kenardır (\( b \)'yi bulacağız).
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( 4^2 + b^2 = 5^2 \).
• Kareleri hesaplayalım: \( 16 + b^2 = 25 \).
• \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 16 \).
• \( b^2 = 9 \).
• \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{9} \).
• Sonuç: \( b = 3 \) m. ✅

Merdivenin duvara olan uzaklığı 3 metredir.

Bu soru, Öklit geometrisinin temel kavramlarından olan uzaklık ve orta nokta kavramlarını içerir.

• İki ağaç arasındaki mesafe bir doğru parçası olarak düşünülebilir. Bu doğru parçasının uzunluğu 10 metredir.
• Bankın bu iki ağacın tam ortasına yerleştirilmesi demek, bankın bu doğru parçasının orta noktasında olması demektir.
• Orta nokta, bir doğru parçasını iki eşit parçaya böler.
• Dolayısıyla, bankın her iki ağaca olan uzaklığı, toplam mesafenin yarısı olacaktır.
• Hesaplama: \( \frac{10 \text{ metre}}{2} = 5 \text{ metre} \). ✅

Öklit geometrisinde, noktalar arasındaki uzaklıklar ölçülebilir ve doğru parçalarının orta noktaları tanımlanabilir. Bu durumda, bankın her iki ağaca olan uzaklığı 5 metredir.

Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

• Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Verilenler: Bir dik kenar \( a = 5 \) cm, hipotenüs \( c = 13 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \)'yi bulacağız.
• Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \).
• Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \).
• \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \).
• \( b^2 = 144 \).
• \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \).
• Sonuç: \( b = 12 \) cm. ✅

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir.

Bu problemde, televizyon ekranının kısa ve uzun kenarları bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur. Ekran köşegeni ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor Teoremi ile çözebiliriz.

• Dik kenarlar: \( a = 30 \) cm ve \( b = 40 \) cm.
• Hipotenüs (köşegen): \( c \)'yi bulacağız.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Değerleri yerine koyalım: \( 30^2 + 40^2 = c^2 \).
• Kareleri hesaplayalım: \( 900 + 1600 = c^2 \).
• Toplamı bulalım: \( 2500 = c^2 \).
• \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{2500} \).
• Sonuç: \( c = 50 \) cm. ✅

Televizyon ekranının köşegeni 50 cm'dir.

Bu problem, ölçek kavramını ve harita üzerindeki mesafenin gerçek mesafeye dönüştürülmesini içerir. Ölçek, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder.

• Harita üzerindeki mesafe: 5 cm.
• Ölçek: 1:200.000. Bu, haritadaki 1 birimin gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.
• Gerçek mesafeyi hesaplamak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki ikinci sayıyla çarparız: \( 5 \text{ cm} \times 200.000 \).
• Hesaplama: \( 1.000.000 \) cm.
• Bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
• Bilmemiz gereken dönüşümler:
• 1 metre = 100 cm
• 1 kilometre = 1000 metre
• Önce santimetreyi metreye çevirelim: \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 10.000 \) metre.
• Şimdi de metreyi kilometreye çevirelim: \( \frac{10.000 \text{ m}}{1000 \text{ m/km}} = 10 \) kilometre. ✅

A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir.

Bu soru, Tales Teoremi'nin paralellik ve orantı ile ilgili temel prensibini kullanır.

• Tales Teoremi'nin ilgili kısmına göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru parçası, bu kenarları orantılı olarak böler.
• Soruda DE // BC verilmiştir. Bu, DE doğru parçasının BC kenarına paralel olduğunu gösterir.
• Bu paralellik sayesinde, A noktasından çıkan ışınlar üzerindeki D ve E noktaları, AB ve AC kenarlarını orantılı olarak böler.
• Verilen oran: \( \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} \). Bu, AD kenarının DB kenarına oranının 2/3 olduğunu söyler.
• Tales Teoremi'ne göre, eğer DE // BC ise, kenarlar aynı oranda bölünür. Yani, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) olmalıdır.
• Bu durumda, \( \frac{AE}{EC} \) oranı da \( \frac{2}{3} \) olacaktır. ✅

Dolayısıyla, \( \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3} \) olur. Bu, Tales Teoremi'nin üçgenlerde kenar bölme prensibini gösterir.