Öklit, Pisagor, Tales Ders Notu

Öklit, Pisagor ve Tales Bağıntıları 📐

Bu bölümde, geometri ve matematikte temel taşlardan olan Öklit, Pisagor ve Tales bağıntılarını 9. sınıf müfredatı çerçevesinde detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Bu bağıntılar, özellikle dik üçgenler ve benzerlik konularında karşımıza çıkar.

1. Pisagor Bağıntısı 📏

Pisagor bağıntısı, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

• Bir dik üçgenin dik kenarları \(a\) ve \(b\), hipotenüsü ise \(c\) olsun.
• Pisagor bağıntısı şu şekilde ifade edilir: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Örnek 1:

Dik kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.

Verilenler: \(a = 3\) cm, \(b = 4\) cm

Pisagor bağıntısını uygulayalım: \(3^2 + 4^2 = c^2\)

\(9 + 16 = c^2\)

\(25 = c^2\)

Her iki tarafın karekökünü alırsak: \(c = \sqrt{25} = 5\) cm

Hipotenüs uzunluğu 5 cm'dir.

Örnek 2:

Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm ise, diğer dik kenar uzunluğu kaç cm'dir?

Verilenler: \(c = 13\) cm, \(a = 5\) cm

Pisagor bağıntısını uygulayalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\)

\(25 + b^2 = 169\)

\(b^2 = 169 - 25\)

\(b^2 = 144\)

Her iki tarafın karekökünü alırsak: \(b = \sqrt{144} = 12\) cm

Diğer dik kenar uzunluğu 12 cm'dir.

2. Tales Bağıntısı (Benzerlik) ↔️

Tales bağıntısı, temelde benzer üçgenler ve paralel doğrularla ilgilidir. En bilinen haliyle, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğrunun diğer kenarları kestiği noktalarla oluşan küçük üçgenin, ana üçgene benzerliği üzerine kuruludur.

• Bir ABC üçgeninde, DE doğrusu BC'ye paralel olsun (D, AB üzerinde, E, AC üzerinde).
• Bu durumda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
• Benzerlik oranları şunlardır: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)

Örnek 3:

Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası verilsin. DE doğrusu BC'ye paraleldir. AD = 4 cm, DB = 2 cm ve AE = 6 cm ise, EC kaç cm'dir?

Verilenler: AD = 4, DB = 2, AE = 6

AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 cm

Tales bağıntısına göre: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)

\( \frac{4}{6} = \frac{6}{AC} \)

İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 4 \times AC = 6 \times 6 \)

\( 4 \times AC = 36 \)

\( AC = \frac{36}{4} = 9 \) cm

AC = AE + EC olduğundan: \( 9 = 6 + EC \)

\( EC = 9 - 6 = 3 \) cm

EC uzunluğu 3 cm'dir.

3. Öklit Bağıntıları (Dik Üçgende Yükseklik ve Kenar Bağıntıları) 📐

Öklit bağıntıları, dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan üç küçük dik üçgen arasındaki ilişkileri inceler. Bu bağıntılar, Pisagor bağıntısının bir uzantısı olarak görülebilir.

• Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derece ve A'dan hipotenüs BC'ye inen yükseklik AD olsun. D noktası BC üzerindedir.
• Bu durumda, BD = p, DC = q ve AD = h (yükseklik) olsun. Hipotenüs BC = p + q = a'dır.

a) Yükseklik Bağıntısı:

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.

\(h^2 = p \times q\)

b) Kenar Bağıntıları:

Dik kenarların kareleri, hipotenüsün o kenara yakın olan parçasının uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

\(c^2 = p \times a\) (Burada c, AB kenarıdır ve p, BC üzerindeki AB'ye yakın parçadır.)

\(b^2 = q \times a\) (Burada b, AC kenarıdır ve q, BC üzerindeki AC'ye yakın parçadır.)

Örnek 4:

Bir ABC dik üçgeninde (A açısı 90 derece), hipotenüs BC üzerindeki yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. Bu yükseklik, hipotenüsü 4 cm ve 5 cm'lik iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre, dik kenar uzunluklarını bulalım.

Verilenler: \(h = 6\) cm, \(p = 4\) cm, \(q = 5\) cm.

Hipotenüs \(a = p + q = 4 + 5 = 9\) cm.

Yükseklik bağıntısını kontrol edelim: \(h^2 = p \times q \Rightarrow 6^2 = 4 \times 5 \Rightarrow 36 = 20\). Bu durum sorunun hatalı olduğunu gösterir. Yükseklik bağıntısı sağlanmalıdır. Soruyu düzeltelim:

Düzeltilmiş Örnek 4: Bir ABC dik üçgeninde (A açısı 90 derece), hipotenüs BC üzerindeki yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. Bu yükseklik, hipotenüsü 3 cm ve 12 cm'lik iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre, dik kenar uzunluklarını bulalım.

Verilenler: \(h = 6\) cm, \(p = 3\) cm, \(q = 12\) cm.

Yükseklik bağıntısını kontrol edelim: \(h^2 = p \times q \Rightarrow 6^2 = 3 \times 12 \Rightarrow 36 = 36\). Bu bağıntı sağlanmaktadır.

Hipotenüs \(a = p + q = 3 + 12 = 15\) cm.

Dik kenar AB (c) için: \(c^2 = p \times a = 3 \times 15 = 45 \Rightarrow c = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) cm.

Dik kenar AC (b) için: \(b^2 = q \times a = 12 \times 15 = 180 \Rightarrow b = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\) cm.

Dik kenar uzunlukları \(3\sqrt{5}\) cm ve \(6\sqrt{5}\) cm'dir.

Bu bağıntılar, geometrik problemlerin çözümünde ve inşaat, mimarlık gibi alanlarda temel araçlardır.