💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler

Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları birbirine eşittir. Bu, eşliğin temel tanımıdır.
Verilen \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ifadesindeki harflerin sırası, karşılıklı elemanları belirtir.

• 👉 İlk harfler: A ile D karşılıklı. Yani \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ve \( |AB| = |DE| \).
• 👉 İkinci harfler: B ile E karşılıklı. Yani \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ve \( |BC| = |EF| \).
• 👉 Üçüncü harfler: C ile F karşılıklı. Yani \( m(\angle C) = m(\angle F) \) ve \( |AC| = |DF| \).

Buna göre, verilen tüm ifadeler eş üçgenlerin tanımından dolayı kesinlikle doğrudur. ✅
Doğru cevap D seçeneğidir.

İki üçgenin eşliğini veya benzerliğini belirlemek için belirli kurallarımız vardır. Bu soruda, üçgenlerin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiştir.

• 📌 ABC üçgeni için:
  Kenar \( |AB| = 6 \) cm
  Açı \( m(\angle B) = 70^\circ \)
  Kenar \( |BC| = 8 \) cm
  
• 📌 DEF üçgeni için:
  Kenar \( |DE| = 6 \) cm
  Açı \( m(\angle E) = 70^\circ \)
  Kenar \( |EF| = 8 \) cm
  

Görüldüğü üzere, her iki üçgende de iki kenar uzunluğu (6 cm ve 8 cm) ve bu kenarlar arasında kalan açının ölçüsü (70°) birbirine eşittir.
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır.
Dolayısıyla, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'tir.
Bu üçgenler hem eştir hem de benzerdir (eş üçgenler aynı zamanda benzerdir ve benzerlik oranı 1'dir). ✅

💡 Paralel doğrular ve üçgenlerde benzerlik ilişkisi, Temel Benzerlik Teoremi (veya Thales Teoremi'nin bir uygulaması) ile açıklanır.
Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır ve küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur.
Bu durumda, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) 'dir.
Benzerlikten dolayı kenar uzunlukları orantılıdır:

• 1. Adım: Orantıyı kurarız.
  \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
  
• 2. Adım: Verilen değerleri yerine yazarız.
  \( \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \)
  
• 3. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EC| \) uzunluğunu buluruz.
  \( 4 \times |EC| = 6 \times 3 \)
  \( 4 \times |EC| = 18 \)
  \( |EC| = \frac{18}{4} \)
  \( |EC| = 4.5 \) cm. ✅

Bu tür gölge problemleri, güneş ışınlarının paralel geldiği varsayımıyla benzer üçgenler oluşturur.
Mühendis ve gölgesi ile bina ve gölgesi, dik üçgenler oluşturur. Güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesi nedeniyle bu iki dik üçgen benzerdir (Açı-Açı Benzerliği).

• 1. Adım: Mühendisin boyu ve gölgesini kullanarak bir oran yazarız.
  Mühendisin boyu = \( 1.80 \) m
  Mühendisin gölgesi = \( 2.40 \) m
  
• 2. Adım: Binanın yüksekliğine \( x \) diyelim. Binanın gölgesi = \( 32 \) m.
  Benzerlikten dolayı, boyların oranı gölgelerin oranına eşit olacaktır:
  \( \frac{\text{Mühendisin boyu}}{\text{Mühendisin gölgesi}} = \frac{\text{Binanın yüksekliği}}{\text{Binanın gölgesi}} \)
  
• 3. Adım: Değerleri yerine koyarız ve denklemi çözeriz.
  \( \frac{1.80}{2.40} = \frac{x}{32} \)
  Önce sol tarafı sadeleştirebiliriz: \( \frac{1.8}{2.4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)
  Şimdi denklem: \( \frac{3}{4} = \frac{x}{32} \)
  
• 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini buluruz.
  \( 4 \times x = 3 \times 32 \)
  \( 4x = 96 \)
  \( x = \frac{96}{4} \)
  \( x = 24 \) metre. ✅

Binanın yüksekliği 24 metredir.

Ölçek, bir modelin veya çizimin gerçek boyutlarına oranını gösterir.
Burada 1:100 ölçek, çizimdeki 1 birimin gerçekte 100 birime eşit olduğu anlamına gelir.
Yani, çizimdeki uzunlukları 100 ile çarparak gerçek uzunlukları bulabiliriz.

• 1. Adım: Salonun plandaki uzun kenarını gerçek uzunluğuna çevirelim.
  Plandaki uzun kenar = \( 8 \) cm
  Gerçek uzun kenar = \( 8 \times 100 = 800 \) cm.
  Metreye çevirmek için 100'e böleriz: \( 800 \div 100 = 8 \) metre.
  
• 2. Adım: Salonun plandaki kısa kenarını gerçek uzunluğuna çevirelim.
  Plandaki kısa kenar = \( 5 \) cm
  Gerçek kısa kenar = \( 5 \times 100 = 500 \) cm.
  Metreye çevirmek için 100'e böleriz: \( 500 \div 100 = 5 \) metre.
  

Sonuç olarak, gerçekte salonun uzun kenarı 8 metre, kısa kenarı ise 5 metre olacaktır. ✅ Bu, benzerlik ilkesinin günlük hayattaki en yaygın uygulamalarından biridir! 📐

Bu problemde, dik üçgenler içindeki benzerlik ilişkisini kullanacağız.
Verilen bilgilere göre, \( \triangle ABH \) ve \( \triangle ACH \) birer dik üçgendir.
Ayrıca, \( m(\angle B) = m(\angle HAC) \) bilgisi verilmiştir.

• 1. Adım: Üçgenlerin açılarını inceleyelim.
  \( \triangle ABH \) üçgeninde \( m(\angle AHB) = 90^\circ \).
  \( \triangle ACH \) üçgeninde \( m(\angle AHC) = 90^\circ \).
  
• 2. Adım: Benzer üçgenleri tespit edelim.
  \( \triangle ABH \) üçgeninde açılar: \( m(\angle B) \), \( m(\angle BAH) \), \( 90^\circ \).
  \( \triangle ACH \) üçgeninde açılar: \( m(\angle HAC) \), \( m(\angle C) \), \( 90^\circ \).
  Verilen \( m(\angle B) = m(\angle HAC) \) olduğundan, bu iki üçgenin birer açısı birbirine eşittir. Ayrıca her ikisinde de \( 90^\circ \) açı bulunmaktadır.
  Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı gereği \( \triangle ABH \sim \triangle CAH \) 'dir.
  (Dikkat: Köşelerin sırası önemlidir. \( m(\angle B) = m(\angle HAC) \), \( m(\angle AHB) = m(\angle CHA) = 90^\circ \), dolayısıyla \( m(\angle BAH) = m(\angle C) \)).
  
• 3. Adım: Benzerlik oranını kullanarak \( |AH| \) uzunluğunu bulalım.
  Karşılıklı kenarlar orantılıdır:
  \( \frac{|AH|}{|HC|} = \frac{|BH|}{|AH|} \)
  
• 4. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım.
  \( \frac{|AH|}{9} = \frac{4}{|AH|} \)
  
• 5. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( |AH| \) değerini buluruz.
  \( |AH| \times |AH| = 4 \times 9 \)
  \( |AH|^2 = 36 \)
  \( |AH| = \sqrt{36} \)
  \( |AH| = 6 \) cm. ✅

Bu problem, yamukta köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan benzer üçgenleri kullanır.
Yamukta paralel kenarlar olduğundan, köşegenler arasında kalan üçgenler benzerdir.
Yani, \( AB \parallel DC \) olduğu için, \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) 'dir.
Bunun nedenleri şunlardır:

• 👉 İç ters açılar eşittir: \( m(\angle EAB) = m(\angle ECD) \) ve \( m(\angle EBA) = m(\angle EDC) \).
• 👉 Ters açılar eşittir: \( m(\angle AEB) = m(\angle CED) \).

Dolayısıyla, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) 'dir.
Şimdi benzerlik oranını kullanarak kenar uzunluklarını bulalım:

• 1. Adım: Benzerlik oranını paralel kenarlar üzerinden belirleyelim.
  \( k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{4} = 3 \)
  Bu oran, büyük üçgenin (ABE) kenarlarının, küçük üçgenin (CDE) karşılıklı kenarlarının 3 katı olduğu anlamına gelir.
  
• 2. Adım: Diğer karşılıklı kenarlar için de aynı oranı kullanırız.
  \( \frac{|EB|}{|ED|} = k \)
  \( \frac{|EB|}{3} = 3 \)
  
• 3. Adım: \( |EB| \) uzunluğunu buluruz.
  \( |EB| = 3 \times 3 \)
  \( |EB| = 9 \) cm. ✅

Harita ölçeği, haritadaki bir uzunluğun gerçekteki kaç katına denk geldiğini gösteren bir benzerlik oranıdır.
1:2.000.000 ölçek, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 2.000.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.

• 1. Adım: Haritadaki mesafeyi gerçek mesafeye çevirelim.
  Haritadaki mesafe = \( 5 \) cm
  Gerçek mesafe = \( 5 \times 2.000.000 \) cm
  Gerçek mesafe = \( 10.000.000 \) cm.
  
• 2. Adım: Santimetre cinsinden bulduğumuz mesafeyi kilometreye çevirelim.
  Biliyoruz ki:
  \( 1 \) metre = \( 100 \) cm
  \( 1 \) kilometre = \( 1000 \) metre
  Yani, \( 1 \) kilometre = \( 1000 \times 100 = 100.000 \) cm.
  
• 3. Adım: Gerçek mesafeyi 100.000'e bölerek kilometre cinsinden buluruz.
  Gerçek mesafe = \( \frac{10.000.000}{100.000} \) km
  Gerçek mesafe = \( 100 \) km. ✅

Bu iki şehir arasındaki gerçek kuş uçuşu mesafe 100 kilometredir. 🌍