📝 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Ders Notu
Geometride iki şeklin birbirine göre konumu, büyüklüğü ve biçimi önemlidir. Eşlik ve benzerlik kavramları, şekillerin bu özelliklerini karşılaştırmamızı sağlar. Özellikle üçgenler üzerinde bu kavramlar detaylı olarak incelenir.
Eşlik (Kongrüans) Nedir? 🤔
İki geometrik şeklin, hem biçimlerinin hem de boyutlarının aynı olmasına eşlik denir. Eş olan şekiller üst üste çakıştırıldığında birbirini tamamen örter. Eşlik sembolü \( \cong \) ile gösterilir.
Eş Üçgenler 🔺
İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşit olmalıdır. Örneğin, bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni eş ise, bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. Bu durumda:
- Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir: \( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \), \( |AC| = |DF| \)
- Karşılıklı açı ölçüleri eşittir: \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)
Eşlik Teoremleri (Üçgenlerde)
İki üçgenin eş olduğunu anlamak için tüm kenarların ve açıların eşit olduğunu tek tek kontrol etmek yerine, belirli koşulların sağlanıp sağlanmadığına bakılır. Bu koşullar eşlik teoremleri olarak adlandırılır:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Teoremi 📏📐📏
İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eştir.
Örnek: Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \) ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi 📐📏📐
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılar arasında kalan kenarlarının uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
Örnek: Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 40^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) ve \( |AB| = 8 \) cm olsun. Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 40^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ve \( |DE| = 8 \) cm ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Teoremi 📏📏📏
İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
Örnek: Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm, 5 cm olsun. Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları da 3 cm, 4 cm, 5 cm ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.
- Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşlik Teoremi 📐📐📏
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu eşit ise bu üçgenler eştir. (Bu teorem aslında AKA teoreminden türetilebilir, çünkü iki açısı bilinen bir üçgenin üçüncü açısı da bilinecektir.)
Örnek: Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) ve \( |BC| = 10 \) cm olsun. Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \) ve \( |EF| = 10 \) cm ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.
Benzerlik Nedir? 🧐
İki geometrik şeklin biçimlerinin aynı fakat boyutlarının farklı (orantılı) olmasına benzerlik denir. Benzer olan şekillerin karşılıklı açı ölçüleri eşit, karşılıklı kenar uzunlukları ise orantılıdır. Benzerlik sembolü \( \sim \) ile gösterilir.
Benzer Üçgenler 🔺
İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açı ölçülerinin eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. Örneğin, bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzer ise, bu durum \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. Bu durumda:
- Karşılıklı açı ölçüleri eşittir: \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)
- Karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır:
\[
\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k
\]
Buradaki \( k \) değerine benzerlik oranı denir. Eğer \( k=1 \) ise üçgenler eştir.
Benzerlik Teoremleri (Üçgenlerde)
İki üçgenin benzer olduğunu anlamak için tüm kenarların oranını veya tüm açıların eşitliğini tek tek kontrol etmek yerine, belirli koşulların sağlanıp sağlanmadığına bakılır:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi 📐📐
İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüleri eşit ise bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacaktır.)
Örnek: Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 30^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 30^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \) ise, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi 📏📐📏
İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler benzerdir.
Örnek: Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 12 \) cm ve \( m(\widehat{E}) = 50^\circ \) ise, \( \frac{4}{8} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) olduğundan \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur. Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)dir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi 📏📏📏
İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Örnek: Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm, 5 cm olsun. Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm, 10 cm ise, \( \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) olduğundan \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur. Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)dir.
Benzer Üçgenlerde Çevre ve Alan İlişkisi
İki üçgen benzer ise ve benzerlik oranı \( k \) ise:
- Çevrelerinin oranı, benzerlik oranına eşittir: \[ \frac{\text{Çevre}(\triangle ABC)}{\text{Çevre}(\triangle DEF)} = k \]
- Alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: \[ \frac{\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle DEF)} = k^2 \]
Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi) 📐
Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu doğru üçgenin kenarları üzerinde orantılı parçalar ayırır ve oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzer olur.
Örnek: Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğrusu, AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kessin. Bu durumda:
- \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
- Kenarlar arasında şu oran bağıntıları geçerlidir: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
Kelebek Benzerliği (Kum Saati Benzerliği) 🦋
İki doğru parçasının bir noktada kesişmesiyle oluşan ve karşılıklı kenarları paralel olan şekillerde kelebek benzerliği uygulanır. Örneğin, AB ve CD doğru parçaları E noktasında kesişsin ve \( AB \parallel CD \) olsun. Bu durumda, E noktasında oluşan \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
- \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) olur.
- Kenarlar arasında şu oran bağıntıları geçerlidir: \[ \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|CD|} \]