Paralelkenarın yüksekliği ve alanı, üçgenin yüksekliği ve alanı ve problemleri Ders Notu

Paralelkenarın ve Üçgenin Yüksekliği ve Alanı 📐

Bu dersimizde, paralelkenarın ve üçgenin alanını hesaplamak için kullanacağımız yükseklik kavramını ve bu kavramı kullanarak alan formüllerini öğreneceğiz. Matematikte alan hesaplamaları, günlük hayatımızdaki birçok uygulamada karşımıza çıkar. Örneğin, bir bahçenin ne kadar alan kapladığını hesaplamak, bir odaya ne kadar halı döşeneceğini belirlemek gibi durumlarda alan hesaplamaları kullanılır.

Paralelkenarın Yüksekliği ve Alanı 🟧

Paralelkenarda yükseklik, tabana ait dik uzaklıktır. Paralelkenarın iki farklı yüksekliği olabilir. Bir yükseklik, kısa kenara ait dik uzaklık iken, diğeri uzun kenara ait dik uzaklıktır.

Paralelkenarın Alanı: Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

Formül:

\[ \text{Alan} = \text{taban} \times \text{yükseklik} \]

Örnek 1: Taban uzunluğu 10 cm ve bu tabana ait yükseklik 6 cm olan bir paralelkenarın alanını hesaplayalım.

Çözüm:

Verilenler:

• Taban = 10 cm
• Yükseklik = 6 cm

Formülü kullanarak:

\[ \text{Alan} = 10 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \] \[ \text{Alan} = 60 \text{ cm}^2 \]

Paralelkenarın alanı 60 santimetrekaredir.

Örnek 2: Bir paralelkenarın uzun kenarı 12 birim ve bu kenara ait yükseklik 8 birimdir. Kısa kenarı 6 birim ise, kısa kenara ait yüksekliği bulunuz ve paralelkenarın alanını hesaplayınız.

Çözüm:

Önce uzun kenarı kullanarak alanı bulalım:

\[ \text{Alan} = 12 \text{ birim} \times 8 \text{ birim} \] \[ \text{Alan} = 96 \text{ birim}^2 \]

Şimdi kısa kenarı kullanarak alanı hesaplayalım. Kısa kenara ait yüksekliğe \( h_k \) diyelim:

\[ 96 \text{ birim}^2 = 6 \text{ birim} \times h_k \]

\( h_k \) 'yı bulmak için her iki tarafı 6 birime böleriz:

\[ h_k = \frac{96 \text{ birim}^2}{6 \text{ birim}} \] \[ h_k = 16 \text{ birim} \]

Paralelkenarın alanı 96 birimkaredir ve kısa kenara ait yükseklik 16 birimdir.

Üçgenin Yüksekliği ve Alanı 🔺

Üçgende yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara (veya kenarın uzantısına) indirilen dikmedir. Üçgenin her kenarına ait bir yükseklik çizilebilir.

Üçgenin Alanı: Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Formül:

\[ \text{Alan} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \]

Örnek 3: Tabanı 8 cm ve bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan bir üçgenin alanını hesaplayalım.

Çözüm:

Verilenler:

• Taban = 8 cm
• Yükseklik = 5 cm

Formülü kullanarak:

\[ \text{Alan} = \frac{8 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{40 \text{ cm}^2}{2} \] \[ \text{Alan} = 20 \text{ cm}^2 \]

Üçgenin alanı 20 santimetrekaredir.

Örnek 4: Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin alanını hesaplayınız.

Çözüm:

Dik üçgende dik kenarlar birbirinin tabanı ve o tabana ait yüksekliği olarak kabul edilebilir.

Taban = 6 cm, Yükseklik = 8 cm

\[ \text{Alan} = \frac{6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{48 \text{ cm}^2}{2} \] \[ \text{Alan} = 24 \text{ cm}^2 \]

Dik üçgenin alanı 24 santimetrekaredir.

Problemler ve Çözümleri 🧩

Problem 1: Bir paralelkenarın alanı 72 \( \text{m}^2 \) ve kısa kenarı 6 m'dir. Bu paralelkenarın kısa kenarına ait yüksekliği kaç metredir?

Çözüm:

Paralelkenarın alanı = kısa kenar \( \times \) kısa kenara ait yükseklik

\[ 72 \text{ m}^2 = 6 \text{ m} \times \text{yükseklik} \]

Yüksekliği bulmak için her iki tarafı 6 m'ye böleriz:

\[ \text{yükseklik} = \frac{72 \text{ m}^2}{6 \text{ m}} \] \[ \text{yükseklik} = 12 \text{ m} \]

Kısa kenara ait yükseklik 12 metredir.

Problem 2: Tabanı 15 cm olan bir üçgenin alanı 75 \( \text{cm}^2 \) ise, bu tabana ait yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm:

Üçgenin alanı = \( \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \)

\[ 75 \text{ cm}^2 = \frac{15 \text{ cm} \times \text{yükseklik}}{2} \]

Denklemi düzenleyelim:

\[ 2 \times 75 \text{ cm}^2 = 15 \text{ cm} \times \text{yükseklik} \] \[ 150 \text{ cm}^2 = 15 \text{ cm} \times \text{yükseklik} \]

Yüksekliği bulmak için her iki tarafı 15 cm'ye böleriz:

\[ \text{yükseklik} = \frac{150 \text{ cm}^2}{15 \text{ cm}} \] \[ \text{yükseklik} = 10 \text{ cm} \]

Bu tabana ait yükseklik 10 cm'dir.