📝 12. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Ders Notu
Rasyonel Sayılar 🔢
Rasyonel sayılar, matematikte önemli bir yere sahip olan ve kesirlerle ifade edilebilen sayılardır. Bir tam sayının başka bir tam sayıya bölünmesiyle elde edilen sayılar rasyonel sayılar kümesini oluşturur. Bu küme genellikle \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.
Rasyonel Sayıların Tanımı
Bir \( a \) tam sayısı ve sıfırdan farklı bir \( b \) tam sayısı için \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Burada \( a \) pay, \( b \) ise payda olarak adlandırılır. Payda asla sıfır olamaz çünkü sıfıra bölme işlemi tanımsızdır.
- Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 \) sayısı \( \frac{5}{1} \) şeklinde yazılabildiği için rasyoneldir.
- Her ondalık sayı, eğer devirli veya sonlu ise, rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 0.75 \) sayısı \( \frac{3}{4} \) olarak yazılabilir.
- Devirli ondalık sayılar da rasyoneldir. Örneğin, \( 0.333... \) sayısı \( \frac{1}{3} \) olarak ifade edilebilir.
Rasyonel Sayıların Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini (\( \mathbb{Z} \)) ve doğal sayılar kümesini (\( \mathbb{N} \)) kapsar. \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \) ilişkisi geçerlidir.
Rasyonel Sayılarla İşlemler
Toplama ve Çıkarma
Rasyonel sayıları toplarken veya çıkarırken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, paydaları eşitlemek için kesirleri genişletiriz.
Örnek:
\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \]Önce paydaları eşitleyelim. \( 3 \) ve \( 5 \) sayılarının en küçük ortak katı \( 15 \)'tir. \[ \frac{1 \times 5}{3 \times 5} + \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} \] Şimdi paydalar eşit olduğuna göre payları toplayabiliriz: \[ \frac{5 + 6}{15} = \frac{11}{15} \]
Çarpma
Rasyonel sayıları çarpmak için payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparız.
Örnek:
\[ \frac{2}{7} \times \frac{3}{4} \] \[ \frac{2 \times 3}{7 \times 4} = \frac{6}{28} \]Bu kesri sadeleştirebiliriz:
\[ \frac{6 \div 2}{28 \div 2} = \frac{3}{14} \]Bölme
Rasyonel sayılarda bölme işlemi, birinci kesrin ikinci kesrin tersiyle çarpılması şeklinde yapılır.
Örnek:
\[ \frac{3}{8} \div \frac{1}{2} \]İkinci kesrin tersi \( \frac{2}{1} \)'dir. \[ \frac{3}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{8 \times 1} = \frac{6}{8} \]
Sadeleştirilmiş hali:
\[ \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \]Sayı Doğrusunda Gösterme
Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için, payda kadar eşit aralığa bölünmüş birim uzunluğa bakarız ve pay kadar ilerleriz.
Örneğin, \( \frac{3}{4} \) sayısını sayı doğrusunda göstermek için, \( 0 \) ile \( 1 \) arasındaki birim uzunluğu \( 4 \) eşit parçaya böleriz ve \( 3 \) birim ilerleriz.
Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirmek için belirli kurallar vardır.
Örnek 1: \( 0.75 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Bu sayı sonlu bir ondalık sayıdır. \[ 0.75 = \frac{75}{100} \]
Sadeleştirirsek:
\[ \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} \]Örnek 2: \( 0.666... \) (devirli) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Bu tür sayılar için şöyle bir yöntem izlenir: \( x = 0.666... \) olsun. Her iki tarafı \( 10 \) ile çarpalım: \( 10x = 6.666... \) Şimdi \( 10x \) ile \( x \) arasındaki farkı alalım: \( 10x - x = 6.666... - 0.666... \) \( 9x = 6 \) \( x = \frac{6}{9} \) Sadeleştirirsek: \( x = \frac{2}{3} \)
Örnek 3: \( 1.232323... \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Devreden kısım \( 23 \)'tür. \( x = 1.232323... \) \( 100x = 123.232323... \) \( 100x - x = 123.232323... - 1.232323... \) \( 99x = 122 \) \( x = \frac{122}{99} \)
Rasyonel Sayıların Sıralanması
Rasyonel sayıları sıralarken farklı durumlar söz konusu olabilir:
- Paydalar Eşitse: Payı büyük olan daha büyüktür.
- Paylar Eşitse: Paydası küçük olan daha büyüktür.
- Paydalar ve Paylar Farklıysa: Paydaları eşitleyerek veya ondalık gösterimlerine çevirerek sıralama yapılabilir.
Örnek: \( \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6} \) sayılarını sıralayalım.
Paydaları \( 12 \)'de eşitleyelim: \[ \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \] \[ \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \] \[ \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \]
Sıralama: \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12} \). Bu da \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6} \) anlamına gelir.