💡 11. Sınıf Matematik: Doğru denklemi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için nokta-eğim denklemi formülünü kullanacağız:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Burada \( (x_1, y_1) \) noktamız ve \( m \) eğimimizdir.

• Verilen noktayı \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) ve eğimi \( m = 4 \) formülde yerine koyalım:
• \( y - 3 = 4(x - 2) \)
• Denklemi düzenleyerek doğru denklemine ulaşalım:
• \( y - 3 = 4x - 8 \)
• \( y = 4x - 8 + 3 \)
• \( y = 4x - 5 \)

Sonuç olarak, doğrunun denklemi \( y = 4x - 5 \) olarak bulunur. ✅

İki doğrunun birbirine göre durumunu belirlemek için eğimlerini karşılaştırırız.

• Eğer iki doğru paralel ise, eğimleri eşittir: \( m_1 = m_2 \).
• Eğer iki doğru kesişen doğrular ise, eğimleri farklıdır: \( m_1 \neq m_2 \).
• Eğer iki doğru dik ise, eğimleri çarpımı -1'dir: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).

Verilen eğimler: \( m_1 = 2 \) ve \( m_2 = -\frac{1}{2} \). Şimdi bu eğimleri kontrol edelim:

• Eğimler eşit mi? \( 2 \neq -\frac{1}{2} \), yani paralel değiller.
• Eğimler çarpımı -1 mi? \( 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1 \). Evet!

Bu durumda, bu iki doğru birbirine diktir. 👉

İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için öncelikle doğrunun eğimini hesaplamamız gerekir.

Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Verilen noktalar: \( A(x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( B(x_2, y_2) = (3, 9) \).

• Eğimi hesaplayalım:
• \( m = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
• Eğimi \( m = 2 \) ve noktalardan birini (örneğin A noktasını) kullanarak nokta-eğim denklemini yazalım:
• \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• \( y - 5 = 2(x - 1) \)
• Denklemi düzenleyelim:
• \( y - 5 = 2x - 2 \)
• \( y = 2x - 2 + 5 \)
• \( y = 2x + 3 \)

Doğrunun denklemi \( y = 2x + 3 \) olarak bulunur. 🎉

Öncelikle verilen doğrunun eğimini bulalım.

Doğru denklemi: \( 3x + 2y - 6 = 0 \)

Bu denklemi \( y = mx + c \) formuna getirelim:

• \( 2y = -3x + 6 \)
• \( y = -\frac{3}{2}x + 3 \)

Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -\frac{3}{2} \) 'dir. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan, aradığımız doğrunun eğimi de \( m = -\frac{3}{2} \) olacaktır. Şimdi \(P(1, 2)\) noktasından geçen ve eğimi \( m = -\frac{3}{2} \) olan doğrunun denklemini nokta-eğim formülüyle yazalım:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

• \( y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 1) \)
• Denklemi düzenleyelim:
• \( 2(y - 2) = -3(x - 1) \)
• \( 2y - 4 = -3x + 3 \)
• \( 3x + 2y - 4 - 3 = 0 \)
• \( 3x + 2y - 7 = 0 \)

Aradığımız doğrunun denklemi \( 3x + 2y - 7 = 0 \) 'dır. ✨

Bu problemi bir doğru denklemi ile modelleyebiliriz.

• Değişkenler:
• \( x \): Katedilen yol (km cinsinden)
• \( y \): Depodaki benzin miktarı (litre cinsinden)

• Başlangıç Noktası:
• Araç yola çıktığında 0 km yol almıştır ve depoda 50 litre benzin vardır. Bu, \( (0, 50) \) noktasına karşılık gelir.

• Eğim:
• Araç her 100 km'de 8 litre benzin tüketiyor. Bu, her 1 km'de \( \frac{8}{100} = 0.08 \) litre benzin tüketildiği anlamına gelir.
• Benzin miktarı azaldığı için eğim negatiftir: \( m = -0.08 \).

• Doğru Denklemi:
• Nokta-eğim formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• \( y - 50 = -0.08(x - 0) \)
• \( y - 50 = -0.08x \)
• \( y = -0.08x + 50 \)

Bu denklem, katedilen yol (x) ile depodaki benzin miktarı (y) arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Örneğin, 200 km yol gidildiğinde depoda \( y = -0.08(200) + 50 = -16 + 50 = 34 \) litre benzin kalacaktır. 🛣️

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için, bu iki doğrunun denklemlerini ortak çözümünü bulmalıyız.

Denklem 1: \( x - 2y + 4 = 0 \)

Denklem 2: \( 2x + y - 7 = 0 \)

Bu denklem sistemini çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemini kullanabiliriz. Yerine koyma yöntemini kullanalım.

• Denklem 1'den \( x \)'i çekelim:
• \( x = 2y - 4 \)
• Bu \( x \) değerini Denklem 2'de yerine koyalım:
• \( 2(2y - 4) + y - 7 = 0 \)
• Denklemi çözelim:
• \( 4y - 8 + y - 7 = 0 \)
• \( 5y - 15 = 0 \)
• \( 5y = 15 \)
• \( y = 3 \)
• Şimdi \( y = 3 \) değerini \( x = 2y - 4 \) denkleminde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım:
• \( x = 2(3) - 4 \)
• \( x = 6 - 4 \)
• \( x = 2 \)

Bu iki doğrunun kesim noktası \( (2, 3) \) 'tür. 🎯

Bu durumu bir doğru denklemi ile ifade edebiliriz.

• Değişkenler:
• \( x \): Gidilen mesafe (km cinsinden)
• \( y \): Ödenecek toplam ücret (TL cinsinden)

• Eğim:
• Kilometre başına alınan ücret, doğrunun eğimidir. Bu durumda \( m = 5 \) TL/km'dir.

• Y-kesen (Sabit Terim):
• Açılış ücreti, mesafe 0 iken ödenen ücrettir. Bu, doğrunun y-eksenini kestiği noktadır. Bu durumda \( c = 10 \) TL'dir.

• Doğru Denklemi:
• Doğrunun genel denklemi \( y = mx + c \) formundadır.
• Değerleri yerine koyalım:
• \( y = 5x + 10 \)

Bu denklem, gidilen mesafeye (x) göre ödenecek toplam ücreti (y) vermektedir. Örneğin, 15 km yol gidilirse ödenecek ücret \( y = 5(15) + 10 = 75 + 10 = 85 \) TL olacaktır. 💰

Öncelikle verilen \(x + y = 5\) doğrusunun eğimini bulalım.

Doğru denklemi: \( x + y = 5 \)

Bu denklemi \( y = mx + c \) formuna getirelim:

• \( y = -x + 5 \)

Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -1 \) 'dir. Aradığımız doğru, bu doğruya diktir. Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

• \( (-1) \cdot m_2 = -1 \)
• \( m_2 = 1 \)

Yani, aradığımız doğrunun eğimi \( m = 1 \) 'dir. Şimdi \(A(2, 1)\) noktasından geçen ve eğimi \( m = 1 \) olan doğrunun denklemini nokta-eğim formülüyle yazalım:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

• \( y - 1 = 1(x - 2) \)
• Denklemi düzenleyelim:
• \( y - 1 = x - 2 \)
• \( y = x - 2 + 1 \)
• \( y = x - 1 \)

Aradığımız doğrunun denklemi \( y = x - 1 \) 'dir. 👍