📝 11. Sınıf Matematik: Doğru denklemi Ders Notu
11. Sınıf Matematik: Doğru Denklemi 📐
Doğru denklemi, analitik geometrinin temel taşlarından biridir. Bir doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasında bir ilişkiyi ifade eder. Bu ilişki, doğruya ait denklemlerle matematiksel olarak gösterilir. 11. sınıf müfredatında doğru denklemlerini farklı formlarda inceleyeceğiz.
1. Eğim Kavramı 📈
Bir doğrunun eğimi, doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantıdır. Genellikle 'm' harfi ile gösterilir.
- Eğer bir doğru x eksenine paralelse, eğimi 0'dır.
- Eğer bir doğru y eksenine paralelse, eğimi tanımsızdır.
- İki noktası bilinen doğrunun eğimi: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
2. Doğru Denklemi Çeşitleri 📝
a) Nokta-Eğim Formu
Bir noktası \( (x_1, y_1) \) ve eğimi m olan doğrunun denklemi şu şekildedir:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Örnek 1: Eğiminin 2 ve \( (1, 3) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.Çözüm:
Verilenler: \( m = 2 \), \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 3 \)
Nokta-eğim formülünü kullanalım:
\[ y - 3 = 2(x - 1) \] \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x + 1 \]Doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \) olarak bulunur.
b) İki Nokta Formu
A \( (x_1, y_1) \) ve B \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
\[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]Bu formül, aslında iki noktadan eğimi bulup sonra nokta-eğim formuna yerleştirmenin birleşimidir.
Örnek 2: \( (2, 5) \) ve \( (4, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.Çözüm:
Verilenler: \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 9 \)
İki nokta formülünü kullanalım:
\[ \frac{y - 5}{x - 2} = \frac{9 - 5}{4 - 2} \] \[ \frac{y - 5}{x - 2} = \frac{4}{2} \] \[ \frac{y - 5}{x - 2} = 2 \] \[ y - 5 = 2(x - 2) \] \[ y - 5 = 2x - 4 \] \[ y = 2x + 1 \]Doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \) olarak bulunur.
c) Genel Doğru Denklemi
Her doğru, \( Ax + By + C = 0 \) şeklinde bir denklemle ifade edilebilir. Burada A, B ve C sabit sayılardır ve A ile B aynı anda sıfır olamaz.
- Eğer B ≠ 0 ise, denklem \( y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B} \) şeklinde yazılarak eğim \( m = -\frac{A}{B} \) olarak bulunur.
- Eğer B = 0 ise, denklem \( Ax + C = 0 \) olur, bu da \( x = -\frac{C}{A} \) şeklinde bir doğru belirtir (y eksenine paralel).
- Eğer A = 0 ise, denklem \( By + C = 0 \) olur, bu da \( y = -\frac{C}{B} \) şeklinde bir doğru belirtir (x eksenine paralel).
Çözüm:
Denklemi \( y = mx + n \) formuna getirelim:
\[ -6y = -3x - 12 \] \[ y = \frac{-3}{-6}x + \frac{-12}{-6} \] \[ y = \frac{1}{2}x + 2 \]Buradan eğim \( m = \frac{1}{2} \) ve y eksenini kestiği nokta \( n = 2 \) olarak bulunur. Yani doğru y eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
3. İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ↔️
İki doğru \( y = m_1x + n_1 \) ve \( y = m_2x + n_2 \) olsun.
- Paralel Doğrular: Eğer \( m_1 = m_2 \) ve \( n_1 \neq n_2 \) ise doğrular paraleldir.
- Çakışık Doğrular: Eğer \( m_1 = m_2 \) ve \( n_1 = n_2 \) ise doğrular çakışıktır (aynı doğrudur).
- Kesişen Doğrular: Eğer \( m_1 \neq m_2 \) ise doğrular bir noktada kesişir.
- Dik Doğrular: Eğer \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) ise doğrular diktir.
Çözüm:
Birinci doğrunun eğimi \( m_1 = 3 \).
İkinci doğruyu \( y = mx + n \) formuna getirelim:
\[ 2y = -6x + 4 \] \[ y = -3x + 2 \]İkinci doğrunun eğimi \( m_2 = -3 \).
Eğimleri çarpalım: \( m_1 \cdot m_2 = 3 \cdot (-3) = -9 \). Bu çarpım -1 olmadığı için doğrular dik değildir.
Eğimler farklı olduğu için (\( m_1 \neq m_2 \)), doğrular bir noktada kesişir.
4. Doğruların Kesişim Noktası 📍
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözülür. Yani, iki denklemde de y (veya x) yerine karşılık gelen ifade yazılarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
Örnek 5: \( y = 2x + 1 \) ve \( y = -x + 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulunuz.Çözüm:
İki denklemde de y'ler eşit olduğundan:
\[ 2x + 1 = -x + 4 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \]Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine yerine koyarak y'yi bulalım:
Birinci denklemde: \( y = 2(1) + 1 = 3 \)
İkinci denklemde: \( y = -(1) + 4 = 3 \)
Kesişim noktası \( (1, 3) \) olarak bulunur.