🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Tekrarlı Permütasyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Tekrarlı Permütasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kelime Oluşturma Problemi: "KARAKTER" kelimesindeki harflerin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür problemler, tekrarlı permütasyon formülü ile çözülür.
- Öncelikle kelimedeki toplam harf sayısını belirleyelim: "KARAKTER" kelimesinde 8 harf bulunmaktadır.
- Ardından, tekrar eden harfleri sayalım:
- 'K' harfi 2 kez tekrar ediyor.
- 'A' harfi 2 kez tekrar ediyor.
- 'R' harfi 2 kez tekrar ediyor.
- 'T' harfi 1 kez tekrar ediyor.
- 'E' harfi 1 kez tekrar ediyor.
- Tekrarlı permütasyon formülü şöyledir: \( \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!} \), burada \( n \) toplam eleman sayısı ve \( n_1, n_2, \dots, n_k \) tekrar eden elemanların sayılarıdır.
- Formülü uygulayalım: \( \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} \)
- Hesaplama: \( \frac{40320}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{40320}{8} = 5040 \)
Örnek 2:
Sayı Oluşturma Problemi: Rakamları 1, 1, 2, 3, 3, 3 olan 6 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
Çözüm:
Bu problemde de tekrarlı permütasyon kullanacağız.
- Toplam rakam sayısı \( n = 6 \) 'dır.
- Tekrar eden rakamları sayalım:
- '1' rakamı 2 kez tekrar ediyor.
- '2' rakamı 1 kez tekrar ediyor.
- '3' rakamı 3 kez tekrar ediyor.
- Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım: \( \frac{6!}{2! \cdot 1! \cdot 3!} \)
- Hesaplama: \( \frac{720}{2 \cdot 1 \cdot 6} = \frac{720}{12} = 60 \)
Örnek 3:
LGS Tarzı Soru: Bir mağaza, ürünlerini paketlemek için farklı renklerde kutular kullanmaktadır. Elinde 3'ü kırmızı, 2'si mavi ve 1'i yeşil olmak üzere toplam 6 kutu bulunmaktadır. Bu kutular yan yana dizilerek bir vitrin düzenlemesi yapılacaktır. Bu düzenleme kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözüm:
Bu bir tekrarlı permütasyon problemidir.
- Toplam kutu sayısı \( n = 6 \) 'dır.
- Tekrar eden kutu renklerini sayalım:
- Kırmızı kutular: 3 adet (\( n_1 = 3 \))
- Mavi kutular: 2 adet (\( n_2 = 2 \))
- Yeşil kutular: 1 adet (\( n_3 = 1 \))
- Formülümüz: \( \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} \)
- Uygulama: \( \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \)
- Hesaplama: \( \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \)
Örnek 4:
Günlük Hayattan Örnek: Bir grup arkadaş, bir fotoğraf çektirecektir. Grupta 4 kişi bulunmaktadır ve bu kişilerden 2'si ikizdir. Bu 4 kişi yan yana durarak kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? (İkizler ayırt edilemiyor.)
Çözüm:
Burada da tekrarlı permütasyon mantığı devreye girer.
- Toplam kişi sayısı \( n = 4 \) 'tür.
- İkizler ayırt edilemediği için, onları aynı eleman gibi düşüneceğiz. Dolayısıyla, tekrarlayan eleman sayısı 2'dir (\( n_1 = 2 \)).
- Diğer iki kişi farklı olduğu için onların tekrarları 1'dir.
- Formülümüz: \( \frac{n!}{n_1!} \)
- Uygulama: \( \frac{4!}{2!} \)
- Hesaplama: \( \frac{24}{2} = 12 \)
Örnek 5:
Sayı Oluşturma (Sıfır Kuralı): Rakamları 0, 0, 1, 2, 2 olan 5 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
Çözüm:
Bu soruda sıfırın başa gelmeme kuralını göz önünde bulundurmalıyız.
- Öncelikle tüm permütasyonları hesaplayalım:
- Toplam rakam sayısı \( n = 5 \) 'tir.
- Tekrar eden rakamlar: '0' (2 kez), '1' (1 kez), '2' (2 kez).
- Toplam permütasyon sayısı: \( \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30 \)
- Şimdi de sıfırın başa geldiği durumları hesaplayıp toplamdan çıkaralım:
- Eğer 0 başa gelirse, geriye kalan 4 rakam (0, 1, 2, 2) ile 4 basamaklı sayılar oluşturulur.
- Bu 4 rakamın permütasyonları: \( \frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{24}{1 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{24}{2} = 12 \)
- Doğal sayıları bulmak için toplam permütasyondan sıfırın başa geldiği durumları çıkarırız: \( 30 - 12 = 18 \)
Örnek 6:
Kelime Oluşturma: "ANANAS" kelimesinin harfleriyle kaç farklı anlamlı veya anlamsız kelime yazılabilir?
Çözüm:
Bu da standart bir tekrarlı permütasyon sorusudur.
- Kelimedeki toplam harf sayısı \( n = 6 \) 'dır.
- Tekrar eden harfler:
- 'A' harfi 3 kez tekrar ediyor (\( n_1 = 3 \)).
- 'N' harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_2 = 2 \)).
- 'S' harfi 1 kez tekrar ediyor (\( n_3 = 1 \)).
- Formülü uygulayalım: \( \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \)
- Hesaplama: \( \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \)
Örnek 7:
Dizilim Problemi: 3 mavi, 2 kırmızı ve 1 sarı bilye düz bir çizgi boyunca kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm:
Bu problem, nesnelerin tekrarlı permütasyonu ile çözülür.
- Toplam bilye sayısı \( n = 3 + 2 + 1 = 6 \) 'dır.
- Tekrar eden bilye renklerini sayalım:
- Mavi bilyeler: 3 adet (\( n_1 = 3 \))
- Kırmızı bilyeler: 2 adet (\( n_2 = 2 \))
- Sarı bilyeler: 1 adet (\( n_3 = 1 \))
- Tekrarlı permütasyon formülü: \( \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!} \)
- Uygulama: \( \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \)
- Hesaplama: \( \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \)
Örnek 8:
YKS Tarzı Soru: Bir öğrenci, matematik ödevinde 4 tane aynı tip soruyu, 3 tane farklı tip soruyu ve 2 tane de başka bir tip soruyu çözmek zorundadır. Bu soruları çözerken, aynı tipteki soruları birbirinden ayırmadan, toplam kaç farklı sırada çözebilir?
Çözüm:
Bu soru, tekrarlı permütasyonun bir uygulamasıdır.
- Toplam soru sayısı \( n = 4 + 3 + 2 = 9 \) 'dur.
- Aynı tipteki soruları gruplandırarak ele alalım:
- Aynı tip 4 soru: Bunlar kendi içlerinde tek bir grup gibi düşünülebilir. Tekrar sayısı \( n_1 = 4 \) 'tür.
- Farklı tip 3 soru: Bunlar birbirinden farklıdır. Tekrar sayıları 1'dir.
- Başka tip 2 soru: Bunlar da kendi içlerinde tek bir grup gibi düşünülebilir. Tekrar sayısı \( n_2 = 2 \) 'dir.
- Formülümüz: \( \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots} \)
- Uygulama: \( \frac{9!}{4! \cdot 2!} \)
- Hesaplama: \( \frac{362880}{24 \cdot 2} = \frac{362880}{48} = 7560 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-tekrarli-permutasyon/sorular