Tekrarlı Permütasyon Ders Notu

Tekrarlı Permütasyon

Permütasyon, bir nesne grubundaki elemanların farklı sıralanışlarını inceler. Tekrarlı permütasyon ise, bu elemanlardan bazıları birbirinin aynı olduğunda karşımıza çıkar. 10. Sınıf Matematik müfredatında bu konunun temel mantığını ve hesaplama yöntemlerini öğreneceğiz. Tekrarlı permütasyon, özellikle kelimelerin harflerinin dizilişleri veya nesnelerin gruplandırılması gibi durumlarda kullanılır.

Tekrarlı Permütasyon Nedir?

Birbirinden farklı n tane nesne, n! farklı şekilde sıralanabilir. Ancak, bu n nesne arasında aynı olanlar varsa, tekrarlı permütasyon formülü devreye girer. Eğer n tane nesnenin n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi ikinci türden, ..., n_k tanesi k'ıncı türden ve n₁ + n₂ + ... + n_k = n ise, bu n nesnenin farklı sıralanışlarının sayısı aşağıdaki formülle bulunur:

\[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} \]

Burada n! (n faktöriyel), 1'den n'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

Tekrarlı Permütasyonun Kullanım Alanları

• Belirli harflere sahip kelimelerin kaç farklı şekilde yazılabileceği.
• Aynı renkteki topların veya nesnelerin farklı dizilişleri.
• Grupların belirli koşullara göre sıralanması.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Kelime Sıralamaları

SORU: "MATEMATİK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

ÇÖZÜM: Kelime toplam 9 harften oluşmaktadır, yani \( n=9 \). Harfleri inceleyelim:

• M: 2 tane
• A: 2 tane
• T: 2 tane
• E: 1 tane
• İ: 1 tane
• K: 1 tane

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım:

\[ \frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{9!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} \]

Şimdi hesaplayalım:

\[ 9! = 362.880 \] \[ 2! = 2 \] \[ \frac{362.880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362.880}{8} = 45.360 \]

Bu nedenle, "MATEMATİK" kelimesindeki harflerle 45.360 farklı kelime yazılabilir.

Örnek 2: Nesne Dizilişleri

SORU: Elimizde 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top bulunmaktadır. Bu toplar yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

ÇÖZÜM: Toplam top sayısı \( n=6 \). Tekrar eden top sayıları:

• Kırmızı: 3 tane (\( n_1=3 \))
• Mavi: 2 tane (\( n_2=2 \))
• Yeşil: 1 tane (\( n_3=1 \))

Formülümüz:

\[ \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{6!}{3! \cdot 2!} \]

Hesaplama:

\[ 6! = 720 \] \[ 3! = 6 \] \[ 2! = 2 \] \[ \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60 \]

Bu toplar 60 farklı şekilde dizilebilir.

Örnek 3: Yol Problemleri (Basit Seviye)

SORU: Bir kişi, bir A noktasından bir B noktasına gitmek istiyor. Gideceği yol üzerinde sadece sağa (S) ve yukarı (Y) doğru hareket edebiliyor. A noktasından B noktasına gitmek için toplam 3 adım sağa ve 2 adım yukarı atması gerekiyorsa, kaç farklı yol izleyebilir?

ÇÖZÜM: Bu problem, tekrarlı permütasyonun bir uygulamasıdır. Toplam adım sayısı \( n=3+2=5 \). Atılacak adımlar:

• Sağa (S) adımı: 3 tane (\( n_1=3 \))
• Yukarı (Y) adımı: 2 tane (\( n_2=2 \))

İzlenebilecek farklı yol sayısı:

\[ \frac{5!}{3! \cdot 2!} \]

Hesaplama:

\[ 5! = 120 \] \[ 3! = 6 \] \[ 2! = 2 \] \[ \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Bu kişi A noktasından B noktasına 10 farklı yol izleyerek gidebilir.

Önemli Notlar

• Tekrarlı permütasyon formülünde, tekrar eden elemanların sayılarının faktöriyelleri paydada yer alır.
• Eğer bir eleman sadece bir kez tekrar ediyorsa (yani \( n_i=1 \)), \( 1! = 1 \) olduğu için bu elemanı formüle dahil etmek sonucu değiştirmez, ancak formülün mantığını anlamak açısından yazılabilir.
• Bu konu, olasılık hesaplamalarında da temel oluşturur.