🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler. En büyük ortak bölen-en küçük ortak kat bölünebilme özelliklerini kullanarak kalan bulma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler. En büyük ortak bölen-en küçük ortak kat bölünebilme özelliklerini kullanarak kalan bulma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Asal Çarpanlar ve Bölünebilme İlişkisi
Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmak, o sayının yapısını anlamanın ilk adımıdır. Örneğin, 120 sayısının asal çarpanları nelerdir ve bu çarpanlar sayının bölünebilme kurallarıyla nasıl ilişkilidir? 💡
Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmak, o sayının yapısını anlamanın ilk adımıdır. Örneğin, 120 sayısının asal çarpanları nelerdir ve bu çarpanlar sayının bölünebilme kurallarıyla nasıl ilişkilidir? 💡
Çözüm:
- Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
120 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Bu durumda 120'nin asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Üslü ifadeyle 120 = \(2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) şeklinde yazılır. - Adım 2: Bölünebilme İlişkisi
Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı kalansız bölen en küçük asal sayılardır. 120 sayısı, asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in her birine kalansız bölünür. - Adım 3: Bölünebilme Kuralları
120'nin 2'ye bölünebilmesi için birler basamağının çift olması gerekir (0). 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir (1+2+0=3). 5'e bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir (0).
Örnek 2:
Bölen Sayısı ve Asal Çarpanlar
Bir doğal sayının kaç tane pozitif tam böleni olduğunu bulmak için asal çarpanlarına ayırmış halini kullanırız. 72 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır? 🤔
Bir doğal sayının kaç tane pozitif tam böleni olduğunu bulmak için asal çarpanlarına ayırmış halini kullanırız. 72 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır? 🤔
Çözüm:
- Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Yani, 72 = \(2^3 \cdot 3^2\) şeklinde yazılır. - Adım 2: Bölen Sayısını Hesaplama
Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparak bölen sayısını buluruz:
Bölen Sayısı = (3+1) (2+1) = 4 3 = 12
Örnek 3:
EBOB ve EKOK ile Kalan Bulma
İki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) kullanarak bölünebilme özelliklerinden yararlanabiliriz. 48 ve 60 sayılarının EBOB'unu ve EKOK'unu bularak, bu sayılarla ilgili bir kalanı nasıl bulabiliriz? 🧐
İki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) kullanarak bölünebilme özelliklerinden yararlanabiliriz. 48 ve 60 sayılarının EBOB'unu ve EKOK'unu bularak, bu sayılarla ilgili bir kalanı nasıl bulabiliriz? 🧐
Çözüm:
- Adım 1: EBOB ve EKOK Hesaplama
Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
48 = \(2^4 \cdot 3^1\)
60 = \(2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)
EBOB(48, 60) = Ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpımı = \(2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12\)
EKOK(48, 60) = Tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpımı = \(2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240\) - Adım 2: Kalan Bulma İlişkisi
EBOB, iki sayının da kalansız bölündüğü en büyük sayıdır. Bu nedenle, EBOB'a bölündüğünde kalan 0 olur.
EKOK ise iki sayının da kalansız bölünebildiği en küçük ortak kattır. - Adım 3: Örnek Kalan Bulma
Diyelim ki bir sayının 48'e bölümünden kalan 12, 60'a bölümünden de kalan 12 ise, bu sayı EKOK(48, 60) + 12 = 240 + 12 = 252 olabilir. Ancak, bu sorunun bağlamı EBOB-EKOK'un kendisiyle ilgili kalan bulmadır. Örneğin, 252 sayısı hem 48'e hem de 60'a bölündüğünde 12 kalanını verir.
Örnek 4:
Asal Çarpanlar ve Gizemli Sayı
Bir A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. A sayısının 12 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? 🚀
Bir A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. A sayısının 12 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? 🚀
Çözüm:
- Adım 1: Asal Çarpanların Yapısı
A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, A sayısı \(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\) şeklinde yazılmalıdır, burada a, b, c pozitif tam sayılardır. - Adım 2: Bölen Sayısı Formülü
Pozitif tam bölen sayısı formülü (a+1)(b+1)(c+1)'dir. Soruda bu sayının 12 olduğu verilmiş.
(a+1)(b+1)(c+1) = 12 - Adım 3: En Küçük Değeri Bulma
A sayısının en küçük olması için üslerin (a, b, c) mümkün olduğunca küçük olması gerekir. 12'nin çarpanlarını (örneğin 3, 2, 2 veya 4, 3, 1 gibi) kullanarak a+1, b+1, c+1 değerlerini belirleyebiliriz. En küçük üsleri elde etmek için çarpanları 3, 2, 2 olarak alalım.
a+1 = 3 => a = 2
b+1 = 2 => b = 1
c+1 = 2 => c = 1
Bu durumda A = \(2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) olur.
Diğer bir olasılık (4, 3, 1): a+1=4 => a=3, b+1=3 => b=2, c+1=1 => c=0. Bu durumda A = \(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 8 \cdot 9 \cdot 1 = 72\).
En küçük değer 60'tır.
Örnek 5:
Pazarcı Amcanın Hesapları
Bir manav, elindeki 96 adet portakalı paketlemek istiyor. Portakalları eşit sayıda paketlere ayıracak. Paketlerdeki portakal sayısı, paket sayısından fazla olamaz. Manav, portakalları kaç farklı şekilde paketleyebilir? 🍊
Bir manav, elindeki 96 adet portakalı paketlemek istiyor. Portakalları eşit sayıda paketlere ayıracak. Paketlerdeki portakal sayısı, paket sayısından fazla olamaz. Manav, portakalları kaç farklı şekilde paketleyebilir? 🍊
Çözüm:
- Adım 1: Problemi Anlama
Bu problem, 96 sayısının bölenlerini bulma problemidir. Paket sayısı (x) ve her paketteki portakal sayısı (y) olsun. x * y = 96'dır. x ≤ y koşulu vardır. - Adım 2: 96'nın Bölenlerini Bulma
96'yı asal çarpanlarına ayıralım:
96 = \(2^5 \cdot 3^1\)
Bölen sayısı = (5+1)(1+1) = 6 * 2 = 12. Yani 96'nın 12 tane pozitif böleni vardır. - Adım 3: Paketleme Seçeneklerini Belirleme
Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Şimdi x ≤ y koşulunu kontrol edelim:
- Paket sayısı 1, Portakal sayısı 96 (1 ≤ 96) ✅
- Paket sayısı 2, Portakal sayısı 48 (2 ≤ 48) ✅
- Paket sayısı 3, Portakal sayısı 32 (3 ≤ 32) ✅
- Paket sayısı 4, Portakal sayısı 24 (4 ≤ 24) ✅
- Paket sayısı 6, Portakal sayısı 16 (6 ≤ 16) ✅
- Paket sayısı 8, Portakal sayısı 12 (8 ≤ 12) ✅
- Paket sayısı 12, Portakal sayısı 8 (12 ≤ 8) ❌ (Bu durum koşulu sağlamaz)
Bu noktadan sonra paket sayısı portakal sayısından büyük olmaya başlar.
Örnek 6:
Ortak Kat ve Kalan
Bir K sayısı, 18'e bölündüğünde 5 kalanını, 24'e bölündüğünde ise 5 kalanını vermektedir. K sayısının alabileceği en küçük pozitif değeri bulunuz. 🔢
Bir K sayısı, 18'e bölündüğünde 5 kalanını, 24'e bölündüğünde ise 5 kalanını vermektedir. K sayısının alabileceği en küçük pozitif değeri bulunuz. 🔢
Çözüm:
- Adım 1: Kalanın Ortaklığı
K sayısı hem 18'e hem de 24'e bölündüğünde aynı kalanı (5) veriyorsa, K-5 sayısı hem 18'e hem de 24'e tam bölünür. - Adım 2: EKOK Hesaplama
K-5 sayısı, 18 ve 24'ün ortak katlarından biridir. En küçük pozitif değeri bulmak için EKOK(18, 24) değerini hesaplamalıyız.
18 = \(2 \cdot 3^2\)
24 = \(2^3 \cdot 3^1\)
EKOK(18, 24) = \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\) - Adım 3: K Sayısını Bulma
K-5 sayısı EKOK(18, 24)'e eşit olmalıdır (en küçük değer için).
K - 5 = 72
K = 72 + 5
K = 77
Örnek 7:
Asal Çarpanların Toplamı
180 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır? ➕
180 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 18 * 10
18 = 2 9 = 2 \(3^2\)
10 = 2 * 5
180 = \(2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1\) - Adım 2: Farklı Asal Çarpanları Belirleme
180 sayısının farklı asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. - Adım 3: Toplama İşlemi
Bu farklı asal çarpanları toplayalım:
2 + 3 + 5 = 10
Örnek 8:
Bölenlerin Toplamı
30 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulunuz. 💯
30 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulunuz. 💯
Çözüm:
- Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
30 = 2 15 = 2 3 * 5
Yani, 30 = \(2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) - Adım 2: Bölenlerin Toplamı Formülü
Bir sayının pozitif tam bölenlerinin toplamı, asal çarpanlarının üslerini kullanarak şu formülle bulunur:
( \(p_1^0 + p_1^1 + ... + p_1^{a_1}\) ) ( \(p_2^0 + p_2^1 + ... + p_2^{a_2}\) ) ...
Burada \(p_i\) asal çarpanlar ve \(a_i\) üslerdir. - Adım 3: Hesaplama
30 için formülü uygulayalım:
( \(2^0 + 2^1\) ) ( \(3^0 + 3^1\) ) ( \(5^0 + 5^1\) )
= (1 + 2) (1 + 3) (1 + 5)
= 3 4 6
= 72
Örnek 9:
EBOB ve EKOK ile Kalan Problemi
Bir x doğal sayısı, 15'e bölündüğünde 3 kalanını, 20'ye bölündüğünde ise 3 kalanını vermektedir. Buna göre x sayısının alabileceği en küçük iki pozitif değeri bulunuz. 💡
Bir x doğal sayısı, 15'e bölündüğünde 3 kalanını, 20'ye bölündüğünde ise 3 kalanını vermektedir. Buna göre x sayısının alabileceği en küçük iki pozitif değeri bulunuz. 💡
Çözüm:
- Adım 1: Kalanın Ortaklığı
x sayısı hem 15'e hem de 20'ye bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, x-3 sayısı hem 15'e hem de 20'ye tam bölünür. - Adım 2: EKOK Hesaplama
x-3 sayısı, 15 ve 20'nin ortak katlarından biridir. Bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
15 = \(3 \cdot 5\)
20 = \(2^2 \cdot 5\)
EKOK(15, 20) = \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) - Adım 3: x Sayısının Değerlerini Bulma
x-3 sayısı, 60'ın katları olmalıdır. Yani, x-3 = 60k (k bir tam sayıdır).
x = 60k + 3
x'in alabileceği en küçük iki pozitif değeri bulmak için k=1 ve k=2 değerlerini kullanırız:
k=1 için: x = 60(1) + 3 = 63
k=2 için: x = 60(2) + 3 = 120 + 3 = 123
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayi-ile-asal-carpanlari-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler-en-buyuk-ortak-bolen-en-kucuk-ortak-kat-bolunebilme-ozelliklerini-kullanarak-kalan-bulma/sorular