Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler. En büyük ortak bölen-en küçük ortak kat bölünebilme özelliklerini kullanarak kalan bulma Ders Notu

Bir Doğal Sayı ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler

Bu bölümde, bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması, bu asal çarpanların sayısının ve bölenlerinin nasıl bulunacağı ve bu kavramların en büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK) ile ilişkisi incelenecektir. Ayrıca, EBOB ve EKOK'un bölünebilme özelliklerini kullanarak kalan bulma yöntemleri üzerinde durulacaktır.

1. Asal Çarpanlara Ayırma

Her doğal sayı (1'den büyük), kendisinden farklı olarak sadece 1'e ve kendisine bölünebilen asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu çarpıma sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

• Asal Sayı: 1'den büyük, kendisi ve 1 dışında pozitif böleni olmayan doğal sayılardır (Örn: 2, 3, 5, 7, 11, ...).
• Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Bir sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla bölerek asal çarpanlarına ayırabiliriz.

Örnek 1:

120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1

Bu durumda 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir.

2. Asal Çarpan Sayısı ve Bölen Sayısı

Bir \( N \) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k} \) şeklinde ise:

• Asal Çarpan Sayısı: \( k \) (farklı asal çarpanların sayısıdır).
• Toplam Bölen Sayısı: \( (a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots \times (a_k+1) \) formülü ile bulunur.

Örnek 2:

120 sayısının farklı asal çarpanlarının sayısını ve toplam bölen sayısını bulalım.

Asal çarpanlarına ayrılmış hali: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)

• Farklı asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Dolayısıyla farklı asal çarpan sayısı \( k = 3 \) tür.
• Toplam bölen sayısı: \( (3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16 \) dır.

3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayıyı bölen en büyük doğal sayıya bu sayıların EBOB'u denir. Bu sayıların ortak katlarının en küçüğüne ise EKOK'u denir.

• EBOB Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Her asal çarpanın ortak olan kuvvetlerinin en küçüğü alınarak çarpılır.
• EKOK Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetleri alınarak çarpılır.

Örnek 3:

24 ve 36 sayılarının EBOB'unu ve EKOK'unu bulalım.

\( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
\( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

• EBOB(24, 36): Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. En küçük kuvvetleri \( 2^2 \) ve \( 3^1 \) dir.
  EBOB(24, 36) = \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
• EKOK(24, 36): Tüm asal çarpanlar 2 ve 3'tür. En büyük kuvvetleri \( 2^3 \) ve \( 3^2 \) dir.
  EKOK(24, 36) = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)

4. EBOB ve EKOK ile Bölünebilme Özellikleri Kullanarak Kalan Bulma

EBOB ve EKOK kavramları, sayılar arasındaki bölünebilme ilişkilerini anlamada ve kalan bulma problemlerinde kullanılır. Özellikle iki sayının çarpımının, EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşit olması önemli bir özelliktir: \( a \times b = \text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) \).

Bir \( N \) sayısının bir \( a \) sayısına bölümünden kalanın \( k \) olduğunu biliyorsak, \( N = q \times a + k \) şeklinde yazabiliriz. Bu tür problemlerde sayılar arasındaki EBOB ve EKOK ilişkileri kullanılarak bilinmeyenler bulunabilir.

Örnek 4:

İki doğal sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Bu sayılardan biri 18 ise, diğeri kaçtır?

Verilenler: EBOB = 6, EKOK = 72, bir sayı \( a = 18 \). Diğer sayıyı \( b \) bulalım.

\( a \times b = \text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) \)
\( 18 \times b = 6 \times 72 \)
\( 18 \times b = 432 \)
\( b = \frac{432}{18} \)
\( b = 24 \)

Diğer sayı 24'tür.

Örnek 5:

Bir \( N \) sayısının 12 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre \( N \) sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?

Verilen \( N \) sayısının 12 ile bölümünden kalan 5 ise, \( N = 12q + 5 \) şeklinde yazılabilir.
Burada \( q \) bir tam sayıdır.
12'nin bölenleri arasında 4 de bulunmaktadır.
\( N = 12q + 5 = (4 \times 3)q + 4 + 1 = 4(3q) + 4 + 1 = 4(3q+1) + 1 \)
Bu ifade, \( N \) sayısının 4 ile bölümünden kalanın 1 olduğunu gösterir.
Yani, \( N \equiv 1 \pmod{4} \).

Örnek 6:

Bir \( N \) sayısının 15 ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre \( N \) sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Verilen \( N \) sayısının 15 ile bölümünden kalan 7 ise, \( N = 15q + 7 \) şeklinde yazılabilir.
Burada \( q \) bir tam sayıdır.
15'in bölenleri arasında 3 de bulunmaktadır.
\( N = 15q + 7 = (3 \times 5)q + 6 + 1 = 3(5q) + 3 \times 2 + 1 = 3(5q+2) + 1 \)
Bu ifade, \( N \) sayısının 3 ile bölümünden kalanın 1 olduğunu gösterir.
Yani, \( N \equiv 1 \pmod{3} \).