💡 10. Sınıf Matematik: Asal çarpanlar, bölenler, ebob-ekok, bölünebilme ve kalan; fonksiyonlar, karesel/karekök/rasyonel fonksiyonlar ve ters fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için bölünebilme kurallarını sırayla uygulamalıyız:

• 5 ile Bölünebilme: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir. Bu durumda \( b = 0 \) veya \( b = 5 \) olur.
• Durum 1 (\( b = 0 \)): Sayımız \( 7a320 \) olur. 9 ile bölünebilme kuralı rakamlar toplamının 9'un katı olmasıdır.
  \( 7 + a + 3 + 2 + 0 = 12 + a \)
  Buradan \( 12 + a = 18 \) olması için \( a = 6 \) bulunur.
• Durum 2 (\( b = 5 \)): Sayımız \( 7a325 \) olur. Rakamlar toplamına bakalım:
  \( 7 + a + 3 + 2 + 5 = 17 + a \)
  Buradan \( 17 + a = 18 \) olması için \( a = 1 \) bulunur.
• Sonuç: \( a \) değerlerinin toplamı \( 6 + 1 = 7 \) olarak hesaplanır. ✅

Bu problem bir EKOK (En Küçük Ortak Kat) problemidir çünkü iki olayın tekrar ne zaman çakışacağını bulmamız gerekir.

• Adım 1: 12 ve 18 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
  \( 12 = 2^2 \times 3 \)
  \( 18 = 2 \times 3^2 \)
• Adım 2: EKOK hesaplanırken ortak çarpanların en büyük üslüleri ve ortak olmayanlar çarpılır.
  EKOK(12, 18) \( = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \) dakikadır.
• Adım 3: Fenerler her 36 dakikada bir birlikte yanarlar.
• Adım 4: İlk kez 20:00'da yandıklarına göre, bir sonraki yanışları:
  20:00 + 36 dakika = 20:36 olacaktır. 🕒

Fonksiyonlarda değer bulmak için değişken yerine istenen sayı yazılır:

• Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere 3 yazalım.
• Adım 2: \( f(3) = 3^2 - 3 \times 3 + 4 \)
• Adım 3: İşlemleri sırasıyla yapalım:
  \( f(3) = 9 - 9 + 4 \)
• Adım 4: Sonuç: \( f(3) = 4 \) bulunur. ✅

Rasyonel fonksiyonlarda tanım kümesini bulurken dikkat etmemiz gereken en önemli kural, paydanın asla sıfır olmamasıdır.

• Adım 1: Paydayı sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
  \( x - 4 = 0 \) ise \( x = 4 \) olur.
• Adım 2: \( x = 4 \) değeri paydayı tanımsız yaptığı için fonksiyonun tanım kümesinde yer alamaz.
• Adım 3: Tanım kümesi, tüm reel sayılardan bu değerin çıkarılmasıyla bulunur.
• Sonuç: Tanım Kümesi \( = R - \{4\} \) olarak ifade edilir. 🎯

Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \) yalnız bırakılır ve sonra \( x \) ile \( y \) yer değiştirilir.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \)'ye eşitleyelim:
  \( y = 3x - 12 \)
• Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakmak için -12'yi karşıya atalım:
  \( y + 12 = 3x \)
• Adım 3: Her iki tarafı 3'e bölelim:
  \( x = \frac{y + 12}{3} \)
• Adım 4: Son olarak \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine \( x \) yazalım.
• Sonuç: \( f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \) bulunur. ✨

Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyon, soldaki fonksiyonun içine yazılır.

• Adım 1: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) demektir.
• Adım 2: \( f \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) ifadesini (yani \( x - 3 \)) yazalım.
• Adım 3: \( f(x - 3) = 2(x - 3) + 1 \)
• Adım 4: Parantezi dağıtalim:
  \( 2x - 6 + 1 \)
• Sonuç: \( (f \circ g)(x) = 2x - 5 \) olarak bulunur. ✅

Bu problemde doğrusal bir fonksiyon modellemesi yapmamız gerekir.

• Adım 1: Sabit ücret (başlangıç değeri) 20 TL'dir. Değişken ücret ise kilometre başına 15 TL'dir.
• Adım 2: Fonksiyonu kuralım:
  \( f(x) = 15x + 20 \)
• Adım 3: 10 km yol için \( x = 10 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım.
• Adım 4: \( f(10) = 15 \times 10 + 20 \)
  \( f(10) = 150 + 20 = 170 \)
• Sonuç: 10 km giden bir yolcu 170 TL öder. 💵

Rasyonel fonksiyonlarda \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki fonksiyonların tersini bulurken, paydaki \( x \)'in katsayısı (\( a \)) ile paydadaki sabit sayı (\( d \)) hem yer hem de işaret değiştirir.

• Adım 1: Fonksiyonumuzdaki katsayıları belirleyelim:
  \( a = 4 \), \( b = -2 \), \( c = 3 \), \( d = 5 \)
• Adım 2: Kurala göre 4 ile 5'in yerini ve işaretini değiştirelim.
• Adım 3: +5 yukarıya -5 olarak, +4 aşağıya -4 olarak geçer.
• Sonuç: \( f^{-1}(x) = \frac{-5x - 2}{3x - 4} \) bulunur. ✅