Asal çarpanlar, bölenler, ebob-ekok, bölünebilme ve kalan; fonksiyonlar, karesel/karekök/rasyonel fonksiyonlar ve ters fonksiyonlar Ders Notu

🔢 Sayılar ve Bölünebilme Kuralları

Bir tam sayının pozitif tam sayı bölenlerini bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir. Bir \( n \) doğal sayısı, \( n = a^x \times b^y \times c^z \) şeklinde asal çarpanlarına ayrıldığında, pozitif bölen sayısı \( (x+1) \times (y+1) \times (z+1) \) formülü ile hesaplanır.

• EBOB: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
• EKOK: İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür.

Önemli Kural: İki doğal sayı için \( a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \) eşitliği her zaman geçerlidir.

Bölünebilme Kuralları

Günlük hayatta paylaştırma problemlerinde sıkça kullandığımız bölünebilme kuralları şunlardır:

• 2 ile bölünebilme: Sayının son basamağı çift olmalıdır.
• 3 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olmalıdır.
• 5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
• 9 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.

📈 Fonksiyonlar ve Özellikleri

Fonksiyon, A kümesindeki her bir elemanı B kümesindeki yalnız bir elemanla eşleyen bir bağıntıdır. \( f: A \rightarrow B \) şeklinde gösterilir. Burada A kümesine tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir.

Fonksiyon Türleri

• Bire Bir Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklıdır.
• Örten Fonksiyon: Değer kümesinde boşta eleman kalmaz.
• Birim Fonksiyon: \( f(x) = x \) şeklindeki fonksiyonlardır.
• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları aynı değere götüren \( f(x) = c \) şeklindeki fonksiyonlardır.

Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun tersinin olması için fonksiyonun hem bire bir hem de örten olması gerekir. \( y = f(x) \) ise \( x = f^{-1}(y) \) olur. Örneğin, \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \) şeklindedir.

📝 Çözümlü Örnekler

Soru 1: 60 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?

Çözüm: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \). Pozitif bölen sayısı formülünü uygulayalım: \( (2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \). Cevap 12'dir.

Soru 2: \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm: \( y = 3x - 5 \) ifadesinde x'i yalnız bırakalım. \( y + 5 = 3x \) buradan \( x = \frac{y+5}{3} \) olur. Fonksiyonun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \) olarak bulunur.

Karesel ve Rasyonel Fonksiyonlar

Karesel fonksiyonlar \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formundadır. Rasyonel fonksiyonlar ise \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) biçiminde olup, paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.