🎓 9. Sınıf Bileşik Önermeler Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 9. sınıf matematik müfredatında yer alan Bileşik Önermeler konusunu kapsamaktadır. Özellikle temel mantık bağlaçları (değil, veya, ve, ya da), bu bağlaçların doğruluk değerleri, bileşik önermelerin sadeleştirilmesi ve doğruluk tablolarının oluşturulması gibi kritik konulara odaklanılmıştır. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmanıza ve konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır. Başarılar! 🚀

1. Önerme ve Doğruluk Değeri Nedir?

• Önerme: Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere denir. Aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz.
• Doğruluk Değeri: Bir önermenin doğru olması durumunda 1 (D), yanlış olması durumunda ise 0 (Y) ile gösterilir.
• Denk Önermeler: Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir ve $\backslash equiv$ sembolü ile gösterilir. Örneğin, $p\; \backslash equiv\; q$.

2. Temel Mantık Bağlaçları ve Doğruluk Tabloları

2.1. Değil (Olumsuzu - Negation) (p') 🚫

• Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir.
• p önermesinin değili p' (p üssü) ile gösterilir.
• Örnek: "Bugün hava güneşlidir." (p) ise, "Bugün hava güneşli değildir." (p') olur.
• Doğruluk Tablosu:
  • p = 1 ise p' = 0
  • p = 0 ise p' = 1
• $(p\text{'})\text{'}\; \backslash equiv\; p$ (Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.)

2.2. Veya (Disjunction) (p ∨ q) ➕

• İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye denir.
• $p\; \backslash lor\; q$ önermesi, önermelerden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.
• Örnek: "Ali okula gider veya ders çalışır."
• Doğruluk Tablosu:
  • 1 ∨ 1 $\backslash equiv$ 1
  • 1 ∨ 0 $\backslash equiv$ 1
  • 0 ∨ 1 $\backslash equiv$ 1
  • 0 ∨ 0 $\backslash equiv$ 0
• 💡 İpucu: Bir toplama işlemi gibi düşünebilirsin. Sadece 0+0=0, diğer tüm durumlar 1.

2.3. Ve (Conjunction) (p ∧ q) ✖️

• İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye denir.
• $p\; \backslash land\; q$ önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır.
• Örnek: "Ayşe ders çalışır ve kitap okur."
• Doğruluk Tablosu:
  • 1 ∧ 1 $\backslash equiv$ 1
  • 1 ∧ 0 $\backslash equiv$ 0
  • 0 ∧ 1 $\backslash equiv$ 0
  • 0 ∧ 0 $\backslash equiv$ 0
• 💡 İpucu: Bir çarpma işlemi gibi düşünebilirsin. Sadece 1x1=1, diğer tüm durumlar 0.

2.4. Ya da (Exclusive Disjunction) (p ⊻ q) ↔️

• İki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye denir.
• $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; q$ (veya $p\; \backslash oplus\; q$) önermesi, önermelerden sadece biri doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. Yani önermelerin doğruluk değerleri farklıysa doğru, aynıysa yanlıştır.
• Örnek: "Bu akşam sinemaya ya da tiyatroya giderim." (İkisini birden yapmam.)
• Doğruluk Tablosu:
  • 1 ⊻ 1 $\backslash equiv$ 0
  • 1 ⊻ 0 $\backslash equiv$ 1
  • 0 ⊻ 1 $\backslash equiv$ 1
  • 0 ⊻ 0 $\backslash equiv$ 0
• ⚠️ Dikkat: "Veya" (∨) ile karıştırma! Veya'da ikisi de doğruysa sonuç doğruydu, Ya da'da ise yanlış.

3. Bileşik Önermelerin Özellikleri ve Sadeleştirme Kuralları

Bileşik önermeleri sadeleştirirken veya denkliklerini bulurken aşağıdaki kuralları kullanırız:

• Değişme Özelliği:
  • $p\; \backslash lor\; q\; \backslash equiv\; q\; \backslash lor\; p$
  • $p\; \backslash land\; q\; \backslash equiv\; q\; \backslash land\; p$
  • $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; q\; \backslash equiv\; q\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; p$
• Birleşme Özelliği:
  • $(p\; \backslash lor\; q)\; \backslash lor\; r\; \backslash equiv\; p\; \backslash lor\; (q\; \backslash lor\; r)$
  • $(p\; \backslash land\; q)\; \backslash land\; r\; \backslash equiv\; p\; \backslash land\; (q\; \backslash land\; r)$
• Dağılma Özelliği:
  • $p\; \backslash land\; (q\; \backslash lor\; r)\; \backslash equiv\; (p\; \backslash land\; q)\; \backslash lor\; (p\; \backslash land\; r)$ (Ve'nin Veya üzerine dağılması)
  • $p\; \backslash lor\; (q\; \backslash land\; r)\; \backslash equiv\; (p\; \backslash lor\; q)\; \backslash land\; (p\; \backslash lor\; r)$ (Veya'nın Ve üzerine dağılması)
• Tek Kuvvet (İdempotent) Özelliği:
  • $p\; \backslash lor\; p\; \backslash equiv\; p$
  • $p\; \backslash land\; p\; \backslash equiv\; p$
• De Morgan Kuralları: 🤯
  • $(p\; \backslash lor\; q)\text{'}\; \backslash equiv\; p\text{'}\; \backslash land\; q\text{'}$
  • $(p\; \backslash land\; q)\text{'}\; \backslash equiv\; p\text{'}\; \backslash lor\; q\text{'}$

  ⚠️ Dikkat: De Morgan kurallarını uygularken bağlacın da değiştiğini unutma (∨ $\backslash leftrightarrow$ ∧).

• Ters Eleman Özelliği (Çelişki ve Totoloji):
  • $p\; \backslash lor\; p\text{'}\; \backslash equiv\; 1$ (Totoloji - Daima doğru)
  • $p\; \backslash land\; p\text{'}\; \backslash equiv\; 0$ (Çelişki - Daima yanlış)
• Yutan ve Etkisiz Eleman Özellikleri:
  • $p\; \backslash lor\; 0\; \backslash equiv\; p$ (0, Veya bağlacı için etkisiz eleman)
  • $p\; \backslash lor\; 1\; \backslash equiv\; 1$ (1, Veya bağlacı için yutan eleman)
  • $p\; \backslash land\; 1\; \backslash equiv\; p$ (1, Ve bağlacı için etkisiz eleman)
  • $p\; \backslash land\; 0\; \backslash equiv\; 0$ (0, Ve bağlacı için yutan eleman)
• Ya da (⊻) Bağlacının Özel Kuralları:
  • $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; p\; \backslash equiv\; 0$ (Aynı doğruluk değerine sahip iki önerme "ya da" ile bağlanırsa sonuç 0'dır.)
  • $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; p\text{'}\; \backslash equiv\; 1$ (Farklı doğruluk değerine sahip iki önerme "ya da" ile bağlanırsa sonuç 1'dir.)
  • $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; 0\; \backslash equiv\; p$ (Bir önerme 0 ile "ya da" ile bağlanırsa sonuç önermenin kendisine denktir.)
  • $p\; \backslash underline\{\backslash lor\}\; 1\; \backslash equiv\; p\text{'}$ (Bir önerme 1 ile "ya da" ile bağlanırsa sonuç önermenin değiline denktir.)

4. Doğruluk Tabloları Oluşturma

• n tane farklı önerme için $2^n$ farklı doğruluk durumu vardır.
• Tablo oluştururken her bir önermenin ve bileşik önermenin doğruluk değerleri adım adım belirlenir.
• Önce parantez içindeki işlemler yapılır, sonra değil ('), ardından ve (∧) veya veya (∨), en son ya da (⊻) gibi bağlaçlar değerlendirilir.

5. Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar 🧐

• İşlem Önceliği: Mantık işlemlerinde de bir öncelik sırası vardır:
  1. Parantez içindeki işlemler
  2. Değil (') işlemi
  3. Ve (∧) işlemi
  4. Veya (∨) işlemi
  5. Ya da (⊻) işlemi
  6. İse (⇒) ve Ancak ve Ancak (⇔) işlemleri (Bu testte olmasa da genel bilgi)

  Aynı öncelikteki bağlaçlar soldan sağa doğru yapılır.

• Ezberlemek Yerine Anla: Kuralları ezberlemek yerine, her bir bağlacın mantığını ve doğruluk tablosunu kavraman, karşına çıkan her türlü soruyu çözmende sana büyük avantaj sağlar. Günlük hayattan örneklerle bağlaçları zihninde canlandır.
• Adım Adım Çözüm: Karmaşık görünen bileşik önermeleri sadeleştirirken panik yapma. Her adımı dikkatlice ve sırayla uygula. Parantez içinden başlayarak dışarıya doğru ilerle.
• Doğruluk Değeri Atama: Bazen bir önermenin en sade halini bulmak için p=0 veya p=1 değerlerini vererek şıkları deneyebilirsin. Özellikle denklik sorularında bu yöntem işe yarayabilir.
• "Ya da" (⊻) Bağlacına Dikkat: Bu bağlaç, diğerlerine göre biraz daha farklıdır ve sıkça karıştırılır. Doğruluk değerlerinin farklı olması durumunda 1, aynı olması durumunda 0 olduğunu unutma.
• Negasyonun Dağılımı (De Morgan): Bir parantezin değilini alırken, parantez içindeki her önermenin değilini almayı ve bağlacı değiştirmeyi (∨ $\backslash leftrightarrow$ ∧) sakın unutma!

Unutma, düzenli tekrar ve bol soru çözümü bu konudaki başarının anahtarıdır. Başarılar dilerim! ✨