🎓 9. Sınıf Bileşik Önermeler Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 9. sınıf matematik müfredatında yer alan bileşik önermeler konusunu kapsamaktadır. Testteki sorular, özellikle mantık bağlaçları ($ \land $ (ve), $ \lor $ (veya), $ ' $ (değili)), De Morgan Kuralları, önermelerin temel özellikleri (değişme, birleşme, dağılma, tek kuvvet, ters eleman, etkisiz eleman, yutan eleman) ve bileşik önermelerin denkliğini basitleştirme üzerine yoğunlaşmaktadır. Ayrıca, sözel ifadelerin mantık diline çevrilmesi ve olumsuzunun alınması da önemli bir yer tutmaktadır. Bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmanıza ve konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır. 🚀

1. Önerme ve Doğruluk Değeri Nedir?

• Önerme: Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz.
• Doğruluk Değeri: Bir önerme doğru ise doğruluk değeri '1' (D), yanlış ise '0' (Y) ile gösterilir.
• Denk Önermeler: Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve $ p \equiv q $ şeklinde gösterilir.

2. Temel Mantık Bağlaçları ve Özellikleri

Mantık bağlaçları, basit önermeleri birleştirerek bileşik önermeler oluşturmamızı sağlar.

• a) VE Bağlacı ($ \land $ - Konjonksiyon)
  • İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önerme, her iki önerme de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
  • Örnek: "Bugün hava güneşli ve sıcak." Bu önermenin doğru olması için hem havanın güneşli olması hem de sıcak olması gerekir.
  • 💡 İpucu: $ \land $ bağlacı, çarpma işlemine benzer. İçinde bir tane '0' varsa sonuç '0' olur. $ 1 \land 1 \equiv 1 $, $ 1 \land 0 \equiv 0 $, $ 0 \land 1 \equiv 0 $, $ 0 \land 0 \equiv 0 $.
• b) VEYA Bağlacı ($ \lor $ - Dizjonksiyon)
  • İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önerme, her iki önerme de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
  • Örnek: "Bu akşam film izleyeceğim veya kitap okuyacağım." Bu önermenin yanlış olması için ne film izlemesi ne de kitap okuması gerekir. Birini yapması bile önermeyi doğru yapar.
  • 💡 İpucu: $ \lor $ bağlacı, toplama işlemine benzer (ama $ 1 \lor 1 \equiv 1 $). İçinde bir tane '1' varsa sonuç '1' olur. $ 1 \lor 1 \equiv 1 $, $ 1 \lor 0 \equiv 1 $, $ 0 \lor 1 \equiv 1 $, $ 0 \lor 0 \equiv 0 $.
• c) DEĞİLİ (Olumsuzu) ($ ' $ - Negasyon)
  • Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, o önermenin değili denir. $ p $ önermesinin değili $ p' $ ile gösterilir.
  • Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. $ (1)' \equiv 0 $, $ (0)' \equiv 1 $.
  • Örnek: "$ p $: Bugün hava yağmurlu." ise $ p' $: "Bugün hava yağmurlu değil."
  • ⚠️ Dikkat: Bir önermenin değilinin değili, önermenin kendisine denktir: $ (p')' \equiv p $.

3. Bileşik Önermelerin Temel Özellikleri ve Kuralları

Bileşik önermeleri basitleştirirken veya denkliklerini bulurken bu kuralları bilmek çok önemlidir. 🧠

• a) De Morgan Kuralları: Negasyonun parantez içine dağıtılmasıdır.
  • $ (p \lor q)' \equiv p' \land q' $
  • $ (p \land q)' \equiv p' \lor q' $
  • Örnek: "Dışarıda kar yağıyor veya hava soğuk değil." önermesinin değili: "Dışarıda kar yağmıyor ve hava soğuk."
• b) Değişme Özelliği: Bağlaçların sırası sonucu değiştirmez.
  • $ p \lor q \equiv q \lor p $
  • $ p \land q \equiv q \land p $
• c) Birleşme Özelliği: Aynı bağlaçların art arda kullanıldığı durumlarda parantezlerin yeri sonucu değiştirmez.
  • $ p \lor (q \lor r) \equiv (p \lor q) \lor r $
  • $ p \land (q \land r) \equiv (p \land q) \land r $
• d) Dağılma Özelliği: Bir bağlacın diğer bağlaç üzerine dağılması.
  • $ p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $
  • $ p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $
• e) Tek Kuvvet Özelliği:
  • $ p \lor p \equiv p $
  • $ p \land p \equiv p $
• f) Ters Eleman Özelliği: Bir önerme ile değilinin ilişkisi.
  • $ p \lor p' \equiv 1 $ (Her zaman doğru, totoloji)
  • $ p \land p' \equiv 0 $ (Her zaman yanlış, çelişki)
• g) Etkisiz Eleman Özelliği:
  • $ p \lor 0 \equiv p $
  • $ p \land 1 \equiv p $
• h) Yutan Eleman Özelliği:
  • $ p \lor 1 \equiv 1 $
  • $ p \land 0 \equiv 0 $

4. Totoloji ve Çelişki

• Totoloji: Bir bileşik önerme, doğruluk değeri her zaman '1' ise totolojidir. (Örn: $ p \lor p' \equiv 1 $)
• Çelişki: Bir bileşik önerme, doğruluk değeri her zaman '0' ise çelişkidir. (Örn: $ p \land p' \equiv 0 $)

5. Sözel İfadelerin Mantık Diline Çevrilmesi ve Değili

Günlük hayattaki cümleleri mantık sembollerine dönüştürmek ve olumsuzunu almak da bu konunun önemli bir parçasıdır. 🗣️

• Öncelikle cümlenin basit önermelerini belirleyip harflerle (p, q, r...) ifade edin.
• Bağlaçları ($ \land $, $ \lor $) doğru şekilde yerleştirin.
• Bir önermenin olumsuzunu alırken, sadece bağlaçları değil, önermelerin kendilerini de olumsuzlamayı unutmayın.
• Örnek: "Burak fizik veya matematik dersine çalıştı."
  • $ p $: "Burak fizik dersine çalıştı."
  • $ q $: "Burak matematik dersine çalıştı."
  • Bileşik önerme: $ p \lor q $
  • Değili (olumsuzu): $ (p \lor q)' \equiv p' \land q' $
  • Sözel olarak: "Burak fizik dersine çalışmadı ve Burak matematik dersine çalışmadı."

⚠️ Kritik İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar

• Parantezlere Dikkat: İşlem önceliği parantez içindedir. Parantezleri doğru açıp kapatmak, özellikle De Morgan kurallarını uygularken hayati önem taşır.
• Adım Adım Basitleştirme: Karmaşık bileşik önermeleri tek seferde çözmeye çalışmayın. Her adımda bir kural veya özellik uygulayarak ilerleyin.
• Doğruluk Tablosu Yerine Özellikleri Kullanın: Genellikle sorular, doğruluk tablosu çizmekten ziyade, kuralları ve özellikleri kullanarak daha hızlı ve pratik çözülür. Özellikleri ezberlemek yerine, mantığını kavramaya çalışın.
• 1 ve 0'ın Rolü: Yutan ve etkisiz eleman özelliklerini iyi öğrenin. Bir ifadenin içinde $ p \land 0 $ veya $ p \lor 1 $ gibi yapılar gördüğünüzde hemen basitleştirebilirsiniz.
• Sözel İfadelerde Anlam Kayması: Cümlelerin olumsuzunu alırken sadece "değil" kelimesini eklemek yeterli olmayabilir. "Ve" ile "veya" bağlaçlarının da değiştiğini unutmayın ($ \land \leftrightarrow \lor $).

Bu ders notu, bileşik önermeler konusundaki temel bilgileri ve çözüm stratejilerini özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak ve bu kuralları uygulayarak konuyu çok daha iyi anlayabilir ve sınavlarınızda başarılı olabilirsiniz! Başarılar dilerim! ✨